Описання вибору на мові бінарних відносин

Більш спільна мова, на якій описується вибір, - це мова бінарних відносин. Його велика, ніж у критеріальної мови, спільність заснована на обліку того факту, що в реальності дати оцінку окремо узятій альтернативі часто скрутно або неможливо. Проте, якщо розглядати альтернативу не окремо, а в парі з іншою, то знаходяться підстави сказати, яка з них переважає. Таким чином, основні припущення цієї мови зводяться до наступного:

1) окрема альтернатива не оцінюється, тобто критеріальна функція не вводиться;

2) для кожної пари альтернатив деяким чином можна встановити, що одна з них переважно інший або вони рівноцінні або незрівняні (частіше всі останні два поняття ототожнюються);

3) відношення переваги усередині будь-якої пари альтернатив не залежить від решти альтернатив, пред'явлених до вибору.

Математично бінарне відношення R на множині X визначається як певна підмножина впорядкованих пар(x,y). Зручно використовувати позначення xry, якщо x знаходиться відносно R з у . Безліч всіх пар {(x,y),x,y належать X } називається повним ("універсальним") бінарним відношенням. Оскільки в загальному випадку не всі можливі пари (x,y) задовольняють умовам, відношенням R, що накладається, бінарне відношення є деякою підмножиною повного бінарного відношення R .
Задати відношення - це означає тим або іншим способом вказати всі пари (x,y), для яких виконано відношення .

Способи завдання бінарних відносин

Існує чотири різних способи завдання відносин, а переваги кожного виявляються при різних характеристиках множини X .

Перший, очевидний, спосіб полягає в 1 безпосередньому перерахуванні таких пар. Ясно, що він прийнятний лише у разі кінцевої безлічі R .

Другий зручний спосіб завдання відношення R на кінцевій множині - матричний. Всі елементи нумеруються, і матриця відношення R визначається своїми елементами для всіх i і j. Відомим прикладом такого завдання відносин є турнірні таблиці (якщо нічиї позначити нулями, як і програш, то матриця зобразить відношення "xi - переможець xy").

Третій спосіб - завдання відношення - 1 графом. Вершинам графа G(R) ставлять у відповідності (пронумеровані) елементи множини X, і якщо ХirУj, то від вершини xi проводять направлену дугу до вершини xj .

Для визначення відносин на нескінченній безлічі альтернатив використовується четвертий спосіб - завдання відношення R - 1 перетинами. Множина називається верхнім перетином відношення, а множина нижнім перетином.
Інакше кажучи, верхній перетин - це множина всіх у, які знаходяться відносно xry із заданим елементом x, а нижній перетин - множина всіх у, з якими заданий елемент x знаходиться відносно R . Відношення однозначно визначається одним зі своїх перетинів.

Властивості бінарних відносин

Бінарне відношення j задане на множині M називається:

1)рефлексивним, якщо aja для "a Î M,

2) симетричним, якщо ajb Þ bja,

3) антисиметричним, якщо (ajb) і (bja) Þ a = b,

4) транзитивним, якщо (ajb) і (bjс) Þ a jc.

5) строгого порядку, якщо воно антирефлексивне, антисиметричне і транзитивне.

6) нестрогого порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне.

7) домініруєме, якщо воно антирефлексивне, антисиметричне.