Аналітична ієрархічна процедура

На початку 1970 року американський математик Томас Cааті розробив процедуру підтримки прийняття рішень, яку назвав "Analityc hierarchy process" (AHP). Автори російського видання перевели цю назву як "Метод аналізу ієрархій" (див. книгу: Cааті Т. Прийняття рішень. Метод аналізу ієрархій. - М.: Радіо і Зв'язок, 1993). Цей метод відноситься до класу критеріальних і займає особливе місце, завдяки тому, що він набув виключно широкого поширення і активно застосовується до цього дня, особливо в США. З цієї причини він заслуговує докладного описання в окремому розділі. Не слід думати, що його видатна популярність пояснюється якими-небудь важливими перевагами цього методу, в порівнянні з іншими. Я думаю, що тут ми стикаємося з відомим психологічним феноменом: продукт, що з'явився першим і що вдало задовольняє певну потребу, захоплює ринок. Пізніші продукти, часто більш здійснені, часто виявляються нездібні витіснити удачливий первісток.
На основі цього методу розроблені достатньо серйозні системи підтримки ухвалення рішень, наприклад "Expert choice"
Описання методу виконаємо на конкретному прикладі вибору автомобіля.

Альтернативи:

• Nissan

· Deo

· Skoda

· Mersedes

Критерії:

• стиль

· надійність

· економія палива

У основі АНР все та ж лінійна згортка, але оцінки альтернатив і ваги критеріїв виходять особливим чином. Його ми зараз і розглянемо.
У моделі АНР замість критеріальної таблиці прийнята ієрархія. Представимо її таким чином:

Рівень 0 : Мета - вибрати автомобіль.
Рівень 1 : Критерії: стиль, надійність, економічність.
Рівнів може бути скільки завгодно. Наприклад, критерій 1-го рівня "надійність" можна розкрити рівнем 2 як: 1) надійність двигуна, 2) надійність кузова, 3) надійність ходової частини. Надійність ходової частини можна далі розкрити рівнем 3, наприклад, як а) надійність гальмівної системи, би) надійність підвіски і так далі Ми ж, для простоти пояснення, обмежимося Рівнем 1.
Тепер потрібно отримати оцінки кожної альтернативи по кожному критерію. Якщо існують об'єктивні оцінки, то вони просто виписуються і нормуються так, щоб їх сума була рівна одиниці. Наприклад, якби нас цікавив критерій "максимальна швидкість" і були б відповідні дані по кожному автомобілю, то потрібно було б скласти наступну таблицю.

Альтернативи	Максимальна швидкість (км/год)	Нормоване значення
Nissan	140	0,259
Deo	130	0,241
Skoda	120	0,222
Mersedes	150	0,278
Сума		1,000

А як бути з таким критерієм як "стиль", для якого не існує об'єктивних оцінок? В цьому випадку процедура Cааті рекомендує використовувати парні порівняння. Для фіксації результату порівняння пари альтернатив може використовуватися, наприклад, шкала наступного типу:

1	- рівноцінність
3	- помірна перевага
5	- сильна перевага
7	- дуже сильна перевага
9	- вища (крайня) перевага

Особу, що приймає рішення (ОПР), просять попарно порівняти альтернативи. Результат парних порівнянь альтернатив для критерію "стиль" записується у вигляді таблиці:

	Nissan	Deo	Skoda	Mersedes
Nissan	1/1	1/4	4/1	1/6
Deo	4/1	1/1	4/1	1/4
Skoda	1/4	1/4	1/1	1/5
Mersedes	6/1	4/1	5/1	1/1

Прості дроби в клітках трактуються таким чином. Наприклад, на перетині рядки "Deo" і стовпця "Nissan" записаний дріб 4/1. Це висловлює думку ОПР про те, що "стильність" Deo" в 4 рази вище, ніж "стильність" Жигулів. Тут замість приведеної вище шкали переваги використовувалося поняття "Бути краще в N разів", що також допустимо. Далі прості дроби переводяться в десяткові. Виходить така таблиця.

	Nissan	Deo	Skoda	Mersedes
Nissan	1	0.25	4	0.17
Deo	4	1	4	0.25
Skoda	0.25	0.25	1	0.2
Mersedes	6	4	5	1

Ця таблиця є не що інше, як таблиця результатів парних порівнянь (див. розділ "Некритеріальна структуризація безлічі альтернатив"). Поступимо з нею так само, як ми поступали у вказаному розділі - порахуємо рядкові суми.

	Nissan	Deo	Skoda	Mersedes	Сума по рядку
Nissan	1	0.25	4	0.17	5.42
Deo	4	1	4	0.25	9.25
Skoda	0.25	0.25	1	0.2	1.7
Mersedes	6	4	5	1	16.00
				Сума	32.37

Тепер, на відміну від колишнього, нормуємо суми так, щоб їх сума у свою чергу була рівна 1. Для цього просто розділимо суму кожного рядка на 32,37 (сума останнього стовпця, тобто сума самих рядкових сум). Отримаємо:

	Nissan	Deo	Skoda	Mersedes	Сума по рядку
Nissan	1	0.25	4	0.17	0.116
Deo	4	1	4	0.25	0.247
Skoda	0.25	0.25	1	0.2	0.060
Mersedes	6	4	5	1	0.577
				Сума	1.00

У методі Cааті отримані таким чином нормовані суми приймаються як оцінки альтернатив по критерію "стильність". Відзначимо, що отримані оцінки відображають виключно точку зору конкретної ОПР. Насправді, замість рядкових сум Сааті рекомендує використовувати власний вектор матриці парних порівнянь, вважаючи його точнішою оцінкою. Ми ж для простоти обмежимося рядковими сумами, які допустимі, але, з погляду Сааті, менш точні.
Аналогічним чином виходять ваги критеріїв. Припустимо, конкретне ЛПР порівняло попарно критерії з погляду їх порівняльної важливості. Запишемо результати порівнянь у вигляді таблиці.

	Стиль	Надійність	Економічність
Стиль	1/1	1/2	3/1
Надійність	2/1	1/1	4/1
Економічність	1/3	1/4	1/1

Як і раніше, затвердження типу "надійність в 2 рази важливіше за стиль" записується у вигляді дробу 2/1.
Застосовуючи до цієї таблиці описану вище процедуру, отримаємо ваги критеріїв:
w1 = 0,32 (стиль), w2 = 0,56 (надійність), w3 = 0,12 (економічність).
Таким чином, ми можемо отримати як ваги критеріїв, так і оцінки альтернатив по критеріях:

	Стиль	Надійність	Економічність
Nissan	0.116	0.379	0.301
Deo	0.247	0.290	0.239
Skoda	0.060	0.074	0.212
Mersedes	0.577	0.257	0.248

Далі, застосовуючи лінійну згортку (зважену суму), отримаємо наступні інтегральні оцінки альтернатив (функція корисності):

Nissan	0.306
Deo	0.272
Skoda	0.094
Mersedes	0.328

Потім проводиться аналіз відношення вартість/ефективність. Використовується відношення отриманої інтегральної оцінки до нормованої вартості. Якнайкращою вважається альтернатива, для якої вказане відношення максимальне .

	Вартість в $	Вартість нормована	Функція корисності	Відношення
Deo	3000	0.18	0.272	1.51
Nissan	4000	0.24	0.306	1.28
Mersedes	7000	0.43	0.328	0.76
Skoda	2000	0.15	0.094	0.63
Сумма	16 000	1.00	1.00

Таким чином, враховуючи переваги даної конкретної ОПР, процедура АНР рекомендує йому вибрати Deo.

Декілька завершальних зауважень
Як вже відмічено на початку цього розділу, виключно широкий досвід практичного використання АНР додав процедурі отакий магічний ореол. Не дивлячись на це, я спробую, по можливості об'єктивно, відзначити її достоїнства і недоліки.
Головним достоїнством процедури можна вважати той факт, що ваги критеріїв і оцінки по суб'єктивних критеріях не призначаються прямим вольовим методом (як найчастіше намагаються робити, не сильно замислюючись про коректність такого волюнтаризму), а на основі парних порівнянь. При цьому, на мій погляд, залишається невизначеним (інтуїтивним) поняття "Перевага в N разів", але все одно - це великий крок вперед. Не можна не відзначити, що порівняно недавно Подіновським зроблена спроба точно визначити, що означає кількісну перевагу одного критерію над іншим.
Інша гідність - представлення критеріїв у вигляді ієрархії (дерева). Така структура, якщо вдуматися, внутрішньо властива самому поняттю "критерій", тобто критерії за своєю природою ієрархічні. Використовуючи одну критеріальну таблицю, ми по суті справи спрощуємо ситуацію, виконуючи оцінку або для верхніх рівнів дерева критеріїв, або для самих нижніх (як говорять математики "для листя дерева"). Великої біди в цьому немає, але при оцінці складних альтернатив корисно мислити в термінах дерева критеріїв.

Тепер про недоліки. Перший стосується шкали переваги. Нагадаю, що Сааті пропонує наступну шкалу:

1	- рівноцінність
3	- помірна перевага
5	- сильна перевага
7	- дуже сильна перевага
9	- вища (крайня) перевага

Тепер представимо ситуацію, коли одночасно справедливі наступні 2 твердження: а) "альтернатива А1 дуже сильно перевершує альтернативу А2" і б) "альтернатива А2 дуже сильно перевершує альтернативу А3". Що можна сказати про перевагу альтернативи А1 над альтернативою А3? Логічно було б зробити висновок, що альтернатива А1 перевершує альтернативу А3 в 49 разів (7 помножити на 7)!? Але цей вивід явно не укладається в рамки заданої шкали. Як же бути? Процедура АНР не дає відповіді на це каверзне питання. Швидше за все, доведеться задовольнитися затвердженням типу: "альтернатива А1 має вищу перевагу над альтернативою А3" і надалі використовувати градацію шкали "9".
Основний недолік полягає в тому, що парні порівняння використовуються для набуття кількісних значень. Серйозні дослідження останнього десятиліття приводять до виводу, що коректніше і надійніше використовувати парні порівняння для отримання тільки якісних висновків, типу: "критерій К1 важливіший за критерій К2", не уточнюючи на скільки важливіше.
Проте, можна рекомендувати процедуру АНР для використання, особливо непрофесіоналами, з метою отримати грубу оцінку функції корисності, не додаючи їй сенсу "істини в останній інстанції".