Вирішення ігор в змішаних стратегіях.

Якщо гра не має сідловок точки, то застосування чистих стратегій не дає оптимального вирішення гри. У такому разі можна отримати оптимальне рішення, випадковим чином чергуючи чисті стратегії.
Змішаною стратегією SA гравця А називається застосування чистих стратегій А1, А2.,Аi,.Аm з вірогідністю p1, p2.,pi,.pm, причому сума вірогідності рівна 1: . Змішані стратегії гравця записуються у вигляді матриці:
або у вигляді рядка . Аналогічно змішані стратегії гравця В позначаються: або , де сума вірогідності появи стратегій гравця В рівна 1: .
Чисті стратегії можна вважати окремим випадком змішаних і задавати рядком з нулів і одиниці, причому одиниця повинна стояти в позиції, відповідній чистій стратегії.
На підставі принципу мінімакса визначається оптимальне вирішення гри: це пара оптимальних стратегій , у загальному випадку змішаних, таких, що володіють наступною властивістю: якщо один з гравців дотримується своєї оптимальної стратегії, то іншому не може бути вигідно відступати від своєї оптимальної стратегії. Виграш, відповідною оптимальному рішенню, називається ціною гри . Ціна гри задовольняє нерівності:
, де - нижня ціна гри; - верхня.
Теорема Неймана: кожна кінцева гра має принаймні одне оптимальне рішення, можливо, серед змішаних стратегій.
Якщо чиста стратегія входить в оптимальну змішану стратегію з вірогідністю, відмінною від нуля, то вона називається активною.

Теорема про активні стратегії: якщо один з гравців дотримується своєї оптимальної змішаної стратегії, то виграш залишається незмінним і рівний ціні гри , якщо другий гравець не виходить за межі своїх активних стратегій.
Нехай задана платіжна матриця гри:

Середній виграш гравця А, якщо він використовує оптимальну змішану стратегію , а гравець В чисту стратегію (відповідає першому стовпцю платіжної матриці Р), рівний ціні гри :

Той же середній виграш отримає гравець А, якщо гравець У вибере стратегію , тобто: . Враховуючи, що , отримаємо систему рівнянь для визначення оптимальної стратегії і ціни гри :

Вирішуючи цю систему отримаємо оптимальну стратегію і ціну гри :

Використовуючи теорему про активні стратегії - оптимальну стратегію гравця В, отримуємо, що при будь-якій чистій стратегії гравця А (або ) середній програш гравця В рівний ціні гри :

Вирішуючи цю систему отримаємо оптимальну стратегію і ціну гри: