У 1785
році французький філософ і математик М.-Ж.-А. де Кондорсе опублікував роботу,
присвячену проблемам ухвалення колективних рішень в
ході виборів депутатів провінційних асамблей.
У цій роботі вперше були введені такі ключові для теорії ухвалення
колективних рішень поняття, як принцип Кондорсе і
парадокс Кондорсе.
Згідно принципу Кондорсе, для визначення дійсної волі більшості необхідно
(на відміну від стандартних методів обрання депутата відносною або абсолютною
більшістю голосів), щоб кожен голосуючий пpоpанжіpовал всіх
кандидатів в порядку їх переваги. Це в
корені відрізняється від прийнятих сьогодні в Росії методів обрання президента,
депутата або губернатора відносною або абсолютною більшістю голосів.
Розглянемо для
кращого розуміння принципу Кондорсе числовий приклад
з його роботи.
Використовуватимемо
загальноприйняті позначення. Вираз A > B > C означає, що той, що голосує
віддає перевагу кандидатові A над кандидатом B, а кандидата B - кандидатові С.
Нехай ті, що 60
голосують дали наступні переваги:
23 чоловіка: A > C > B
19 чоловік: B > C > A
16 чоловік: C > B > A
2 чоловік: C > A > B
При порівнянні A
з B маємо:
23 + 2 = 25
чоловік за те, що A > B;
19 + 16 = 35 чоловік за те, що B > A.
По термінології Кондорсе думка більшості полягає в тому, що В краще А.
Порівнюючи А і
З, матимемо:
23 чоловіка за
те, що A > C;
37 чоловік за те, що C > A.
Звідси, по Кондорсе, укладаємо, що більшість віддає перевагу
кандидатові З кандидатові А.
Нарешті,
порівнянний С С В:
19 чоловік за
те, що B > C;
41 чоловік за те, що C > B.
Таким чином, по Кондорсе воля більшості
виражається у вигляді трьох думок: C > B; B > A; C > A, які можна
об'єднати в одне відношення переваги C > B > A і якщо необхідно вибрати
одного з кандидатів, то, згідно принципу Кондорсе,
слід віддати перевагу кандидатові С.
Порівнянний цей вивід з можливим результатом голосування по мажоритарній
системі відносної або абсолютної більшості. Для вищенаведеного прикладу
голосування за системою відносної більшості дасть такі результати: за А - 23
людини, за В - 19 чоловік, за З - 18 чоловік. Таким чином, в цьому випадку
переможе кандидат А.
При голосуванні
за системою абсолютної більшості кандидати А і У вийдуть в другий тур, де
кандидат А отримає 25 голосів, а кандидат В - 35 голосів і переможе.
Таким чином,
правила гри визначатимуть переможця, і ці переможці будуть різними при різних
правилах голосування.
У іншому прикладі, розглянутому Кондорсе, за
підсумками голосування виділяються три твердження: B > C, C > A, A >
B. Але разом ці твердження суперечливі. У цьому і полягає парадокс (ефект) Кондорсе (або парадокс голосування). В цьому випадку
виявляється неможливим ухвалити якесь узгоджене рішення і визначити волю
більшості. У іншій формі парадокс Кондорсе виникає
при постатейному ухваленні деякої ухвали або закону, коли кожна із статей
закону приймається більшістю голосів, а поставлений на голосування закон в
цілому відкидається (іноді навіть стовідсотковою більшістю тих, що голосують).
Третьою версією парадоксу Кондорсе
є ухвалення таких колективних рішень, які на індивідуальному рівні не
підтримував жоден з тих, що голосують. Хай у нас є три люди, що голосують по
трьом питанням. Перший їх них голосує так-так-ні,
другий, - так-ні-да, третій,
- ні-так-так. Сумарний
підсумок голосування підраховується як співвідношення сум голосів "так і
ні" по кожному з питань. У розглянутому випадку сумарний підсумок
голосування буде "так-так-так". Цей
підсумок не відображає думки жодного з тих, що голосували і, природно, не
задовольняє нікого.
Парадокс Абсолютного
некомпетентного вибору
Насправді все легко і просто. Все завдання розглядається
в діапазоні 3 циклів.
Хай x - залишок, куш для головного пірата.
По рівню пірата:
Ц 1 2 3 4 5 6
1 1 0 1 0 1 0
2 0 1 0 1 0 x
3 1 0 1 0 x
4 0 1 0 x
5 1 0 x
6 0 x
7 x
...
Жадність буде до одного золотого. Пірати окрім головного нігті рватимуть, щоб
отримати хоч би одну золоту монету.
Наступний пірат по рагу завжди голосуватиме проти, тому він залишається з
порожньою кишенею.
Для прикладу:
Хай у нас 7 піратів. Цикл з номером 1:
6-у 0, оскільки він голосуватиме "проти".
5-у 1, тому що в 2-му циклі він би отримав 0(його треба задобрити однією
золотою) і він голосуватиме "за"(оскільки знає що 2-ою цикл може бути
останнім і він залишиться з порожньою кишенею, потім жалкуватиме, совість
замучить, волосся рвати і будуть сняться кошмари і тому подібне).
4-у 0, оскільки ми знаємо що в 2-му циклі йому так само,
як і 5-у в 1-му циклі запропонують 1. Можна звичайно запропонувати 2, але наш
пірат дуже жадібний. Ще залишилися 3, 2, 1-й пірат. А нам треба ще два голоси.
3-у 1, т.к . йому запропонують 0 в 2-му циклі,
оскільки в 3-му циклі йому запропонують 1, оскільки 4-му йому нічого не дадуть,
тому що він голосуватиме "проти".
Всім кому дають по одній золотій монеті, знають що наступний цикл може бути
останнім і вони можуть залишитися з порожньою кишенею, ну і там кошмари...(див.
вищий)
Думаю, що все вже зрозуміло і для 2-го і 1-го пірата описувати не треба.
Таким чином, для N-го кількості піратів:
якщо N - парне: x=1000-(N-2) /2, при
цьому всі пірати з парними номерами отримують по золотій монеті.
якщо N - непарне: x=1000-(N-1) /2, пірати з
непарними номерами отримують по золотій монеті.
Після цього, оскільки наш головний пірат 5-й йдемо пити пиво з непарними
піратами, щоб парні пірати не побили 5-го
Парадокс багатоступінчатого голосування
Парадокс
багатоступінчатого голосування: у триступінчатих виборах "хрестики"
перемагають "нулів", хоча на першому етапі мають менше третини
голосів:
=========
| + + 0 |
+-------+ =========
| + + 0 |--->| + + 0 |-->+
+-------+ ========= |
| 0 0 0 | |
========= |
========= |
| + + 0 | |
+-------+ ========= | ========= =====
| + + 0 |--->| + + 0 |-->+---| + + 0 |--->| + |
+-------+ ========= | ========= =====
| 0 0 0 | |
========= |
========= |
| 0 0 0 | |
+-------+ ========= |
| 0 0 0 |--->| 0 0 0 |-->+
+-------+ =========
| 0 0 0 |
=========
Парадокс двохетапних
виборів
Парадокс двохетапних
виборів: на таких виборах може перемогти кандидат, що не користується
найбільшою підтримкою. Наприклад,
перед першим голосуванням симпатії виборців розподіляються так:
30% -- за A;
25% -- за B;
45% -- за C,D або E (у
них близькі програми і репутації
і будь-якою з них поодинці міг би
зібрати 45%
голосів).
У першому турі
виходять наступні результати:
A: 30% | D: 15%
B: 25% | E: 15%
C: 15% |
Таким чином, в другий тур проходять A і
B. Обурені прихильники C, D і E немає на друге голосування. При цьому все одно
набираються ті, що 55% голосували (згідно із законом потрібний не менше 50%), і
перемагає A.
Суперечність з
мажоритарною системою голосування
Мажоритарна виборча система - система
виборів, при якій вибраними вважаються кандидати, що отримали більшість голосів
виборців по виборчому округу, де вони балотуються. Розрізняють мажоритарні
системи абсолютної, відносної і кваліфікованої більшості.
Порівнянний цей вивід з можливим
результатом голосування по мажоритарній системі відносної або абсолютної
більшості.
Для вищенаведеного прикладу
голосування за системою відносної більшості дасть такі результати: за А - 23
людини, за В - 19 чоловік, за З - 18 чоловік. Таким чином, в цьому випадку
переможе кандидат А.
При голосуванні за системою
абсолютної більшості кандидати А і У вийдуть в другий тур, де кандидат А
отримає 25 голосів, а кандидат В - 35 голосів - і переможе.
Отримуємо, що правила гри
визначатимуть переможця, і ці переможці будуть різними при різних правилах
голосування.
Парадокс складеного
голосування
У іншій формі парадокс Кондорсе виникає при постатейному ухваленні деякої ухвали
або закону, коли кожна із статей закону приймається більшістю голосів, а
поставлений на голосування закон в цілому відкидається (іноді навіть
стовідсотковою більшістю тих, що голосують). Або навпаки, цілком можливо, що
колективно будуть ухвалені рішення, які на індивідуальному рівні не підтримував
жоден з тих, що голосують.
Приклад. Хай у нас є три
люди, що голосують по трьом питанням. Перший їх них голосує "так" з
першого питання, "так" по другому і "ні" по третьому,
другий - "так"/"ні"/"так",
третій, - "ні"/"так"/"так".
Сумарний підсумок голосування підраховується як співвідношення сум голосів
"так і ні" по кожному з питань. У розглянутому випадку сумарний
підсумок голосування буде "так"/"так"/"так".
Цей підсумок не відображає думки жодного з тих, що голосували і, природно, не
задовольняє нікого.