Нехай у тривімірному просторі задана точка і вектор .Треба записати рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору ![\overline{N} \overline{N}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/bf95acf4835381967e0ec50a2c44377f.gif)
Вибекремо на площині довільну (поточну) точку , відмінну від і розглянемо вектор . Яка б не була точка , оскільки вона лежитьв площині, вектор буде перпендикулярним вектору , який за умовою перпендикулярний площині, значить перпендикулярній будь-якому вектору, що в цій площині лежить.
З векторної алгебри відомо, що перпенликулярність двох ненульових векторів еквівалентна рівності до нуля їх скалярного добутку.
За умовою, координати вектора є , а вектор своїми проекціями має різниці координат точок і ![M_0 M_0](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/c799681b2a0fb7c2094ebe82855ed99c.gif)
![\overline{M_0 M}=(x-x_0,\,y-y_0,\,z-z_0) \overline{M_0 M}=(x-x_0,\,y-y_0,\,z-z_0)](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/51762f5f1b984a96278dae94c36ab51f.gif)
Знайдемо скалярний добуток цих векторів і прирівняємо його до нуля.
![\overline{N}\cdot\overline{M_0 M}=A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \overline{N}\cdot\overline{M_0 M}=A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/639543e2b036968b27749fc9496a9d77.gif)
Остання рівність
![A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/8db4b3a8d1597c3a241779c430f3e99e.gif)
і являє собою рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору.
Вектор , перпендикулярний площині називається нормальним вектором цієї площини.
|