Спортивна метрологія ...

Тема:Метод середніх величин. Визначення вірності добору групи, яка підлягає дослідженню.

Мета:Навчитися визначати медіану, моду, середнє арифметичне значення; будувати графік залежності варіанти від частоти. Робити висновок щодо вірності добору групи, яка підлягає дослідженню, і можливості використання її у подальших дослідженнях.

Теоретичні відомості

Сучасні спортивні дослідження містять великі масиви вимірів. Такі обсяги чисел важко аналізувати. Спеціальні статистичні операції дають можливість сконцентрувати початковий кількісний матеріал, і при цьому не втрачається корисна інформація. З погляду математичної процедури, така робота зводиться до формування деяких математичних систем, основні характеристики яких дають уяву про початковий масив чисел.

Найпопулярніший метод, що дозволяє зробити такі операції - метод середніх величин. Початкова кількісна інформація при ранжируванні переходить у варіаційний ряд. Характеристики варіаційного ряду дають уявлення про початковий масив чисел. Концентрація початкового кількісного матеріалу і представлення його декількома параметрами є основою для подальших досліджень, тому що потім робота проводиться не з усім масивом чисел, а тільки з характеристиками варіаційного ряду.

Робота над методом середніх величин передбачає три основних етапи:

1. Утворення варіаційного ряду.

2. Знаходження основних характеристик варіаційного ряду:

1обсяг вибірки (N);

2середнє арифметичне значення ( );

3медіана ();

4мода (Мох);

5дисперсія  (     );

6середнє квадратичне відхилення ();

7помилка середнього арифметичного значення (m );

8коефіцієнт варіації (V);

3. Практична реалізація отриманих характеристик.

Метод середніх величин дає можливість визначити середнє значення, припустимі границі досліджуваної вибірки і визначити правильність добору досліджуваної групи, її однорідність і однотипність. Тільки правильно підібрана група, однорідна й однотипна може брати участь у подальших дослідженнях. Якщо група правильно підібрана, то результати дослідження можуть бути використані при подальшій оцінці й аналізіметодики тренування, ефективності навчально-виховного процесу і т.п. Прикінцевий результат дослідження можна буде вважати результатом проведення навчально-виховної або навчально-тренувальної роботи, а не наслідком закономірної зміни фізичного розвитку, або фізичної підготовленості.

Для того, щоб скласти варіаційний ряд, необхідно виконати ранжирування варіант.

1. Ранжирування - операція розташування варіант у порядку зростання або зменшення.

2. Числа, що входять до складу ранжируваного ряду називаються варіантами, варіанта (Хі) - значення ознаки, що спостерігається.

3. Кожна варіанта в ранжируваному ряду зустрічається визначену кількість разів - частота варіанти (nі).

Частота варіанти - кількість  варіант у ранжируваному ряду.

4. При відомій частоті варіанти та обсязі вибірки, можна за допомогою формули, розрахувати відсоток кількості повторень варіанти в ранжируваному ряду - відносну частоту або частість ()

 = (nі/N) × 100%,

де nі - частота варіанти;

               N - обсяг вибірки.

Вибірка(вибіркова сукупність) - ряд результатів, поданих випадковими числами.

Генеральна сукупність - сукупність усіх значень, які можна було б отримати для досліджуваної вибірки.

Якщо дослідженням охоплена вся генеральна сукупність, то таке дослідження називається суцільним. Такі дослідження мають місце дуже рідко.

Наприклад, якщо комусь вдалося обстежити всіх найсильніших спортсменів світу в якомусь виді спорту, тобто провести суцільне дослідження (тому, що інших найсильніших спортсменів світу в досліджуваному виді спорту на момент обстеження не було), виходить, що обстежено всю генеральну сукупність. Усі наступні  дослідження будуть вважатися вибірковими (наприклад, дослідження на рівні України).

Наприклад, довжина тіла студентів одного вузу факультету фізичного виховання (якщо нас цікавлять результати студентів щодо показника, який підлягає дослідженню, тільки одного вузу факультету фізичного виховання) - вибіркова сукупність. А довжина тіла студентів усіх вузів факультетів фізичного виховання України - генеральна сукупність.

5.Обсяг вибірки (N) - одна з основних характеристик варіаційного ряду, що визначається числом об'єктів спостереження або загальної кількості варіант у ранжируваному ряду, що спостерігається.

6. Варіаційний ряд - ранжируваний ряд з позначкою частоти або відносної частоти.

7. Накопичена частота (К)-визначається додаванням попередніх частот.

Накопичена частота першої варіанти в ранжируваному ряду дорівнює її ж частоті, а останньої варіанти - загальній кількості варіант досліджуваного ранжируваного ряду, тобто обсягу вибірки N

8. Медіана () - основна характеристика варіаційного ряду. Вона визначається як середня варіанта, що розподіляє ранжируваний ряд навпіл.

У залежності від парності або непарності обсягу вибірки, медіана розраховується за формулами:

якщо обсяг вибірки непарний:

 = Х ((N +1) / 2);

якщо обсяг вибірки парний:

 = 1/2 ( Х (N / 2) + Х ((N / 2) + 1))

9. Мода (Мох) - основна характеристика варіаційного ряду, вона визначається як варіанта з найбільшою частотою.

Якщо дві варіанти ранжируваного ряду мають однакову найбільшу частоту і розташовуються поруч, то мода - середнє арифметичне значення цих двох варіант; якщо розташовані в різних місцях ранжируваного ряду, то існують дві моди, і вибірка називається бімодальною; якщо всі варіанти зустрічаються однакову кількість разів - моди не існує.

10. Середнє арифметичне значення ()‑ основна характеристика варіаційного ряду, що визначається як середній результат досліджуваної вибірки.

Середнє арифметичне значення розраховується за формулою:

Якщо всі варіанти не повторюються, тобто зустрічаються один раз (n=1) - середнє арифметичне значення, називається незваженим.

Х1_, Х2,....Хn - варіанти ранжируваного ряду

Хn - остання варіанта досліджуваного ранжируваного ряду.

Зважене середнє арифметичне значення, якщо не всі n=1;

        - знак підсумовування, i - індекс, j - кількість варіант у варіаційному ряді.

11.  Графіки:        а) залежність варіанти від її частоти;

                                        б) полігон розподілу;

                                        в) гістограма;

                                        г) кумулята.

а) Графік залежності варіанти від частоти дає уявлення про нормальний закон розподілу.

Нормальний закон розподілу‑ закон, при якому переважну більшість варіантів зосереджено в центрі, а по мірі віддалення від центру, кількість їх поступово зменшується, зберігаючи абсолютну симетрію лівого і правого крила нормальної кривої.

Якщо результати вимірів за своїми характеристиками можуть бути віднесені до нормального розподілу, то вибір статистичного методу для аналізу результатів визначений. Це дуже важливо, оскільки для дослідження зменшується ступінь ризику використання неправильного статистичного методу аналізу.

Рисунок 5.1 - Нормальний розподіл

На графіку залежності варіанти від частоти: якщо медіана, мода і середнє арифметичне значення знаходяться в одній точці, то вибірка має нормальний розподіл варіант (рис. 5.1); якщо на графіку медіана і мода розташовуються зліва від середнього арифметичного значення, то це лівостороння асиметрія (рис 5.2); якщо справа - правостороння асиметрія (рис 5.3).

Рисунок 5.2 - лівостороння асиметрія

Рисунок 5.3 - правостороння асиметрія

На основі порівняння медіани, моди, середнього арифметичного значення і побудови графіка залежності варіанти від частоти можливо зробити висновок про правильний добір досліджуваної групи:

1.Якщо значення медіани, моди і середнього арифметичного значення збігаються, або незначно відрізняються, і графік залежності варіанти від частоти має форму купола, що дозволяє говорити про нормальний закон розподілу, то досліджувану групу можна вважати правильно підібраною відповідно віку, статі, фізичній підготовленості (для осіб, які не займаються спортом), або віку, статі, спеціалізації, кваліфікації (для спортсменів).Така група може брати участь у подальших дослідженнях. Результати дослідження, які булиотримані при правильному доборі групи, можна буде використовувати в подальшій роботі.

2.Якщо значення медіани, моди і середнього арифметичного значно відрізняються, а графік залежності варіанти від частоти не має форму купола, і має місце лівостороння, або правостороння асиметрія (розподіл варіант не відповідає нормальному закону), то група підібрана неправильно, і не може брати участь у подальших дослідженнях. Потрібно переглянути склад групи.

Для побудови трьох останніх графіків, вибірку (всі варіанти ранжируваного ряду) розбивають на інтервали, які можна визначити на підставі кроку інтервалу / h /, що обчислюється за формулою:

, де: Хmax - максимальний результат вимірів у вибірці;

                                          Xmin - мінімальний результат у вибірці;

                                                  K - число інтервалів.

Число інтервалів визначається за таблицею і залежить від обсягу вибірки.

Число інтервалів, що рекомендується, для вибірки різного обсягу

Перший інтервал визначається за допомогою додатка до першої варіанти ранжируваного ряду кроку інтервалу. І тоді початковою границею першого інтервалу буде перша варіанта ранжируваного ряду, а кінцевою - значення, отримане в результаті підсумовування першої варіанти й кроку інтервалу. Подальші інтервали визначаються шляхом додатку кроку інтервалу до кінцевої границі інтервалу. Інтервали визначаються доти, поки остання варіанта ранжируваного ряду не ввійде в інтервал.

Частота інтервалу залежить від кількості варіант які входять у даний інтервал. Накопичена частота інтервалів визначається аналогічно як і у звичайному ранжируваному ряді.

За визначеними інтервалами, частоті й накопиченій частоті будуємо графіки у прямокутній системі координат:

1) Полігон розподілу - по абсцисі - середина інтервалу, по ординаті -частоти.

2) Гістограма - по абсцисі - інтервали, по ординаті - частоти.

3) Кумулята - по абсцисі - інтервали, по ординаті - накопичена частота.

Порядок виконання

Розглянемо дану тему  на прикладі:

Приклад:Група з одинадцятьох спортсменів показали такі результати у підтягуванніу висі на перекладині, кількість разів: 10; 15; 14; 11; 11; 12; 13; 12; 9; 13; 12.

1. Кожен із результатів, які показали 11 спортсменів є варіанта -  і 10, і 15, і 14 ....

2. Варіанти в ранжируваному ряду записуємо в порядку зростання:

9; 10; 11; 11; 12; 12; 12;13; 13; 14; 15

3. Обсяг вибірки N = 11.

4. Частота (ni)

ni(9) = 1, ni(10) = 1, ni(11) = 2, ni(12) = 3, ni(13) = 2, ni(14) = 1,   ni(15) = 1.

5. Відносна частота ()

 = (ni/N)×100%

9 = (1/11) ×100%  = 9%,         9 = 10= 14 = 15 = 9%

11 = (2/11) ×100% = 18%,       11 = 13 = 18%

12 = (3/11) ×100% = 27%

6.   Варіаційний ряд

6.1 Варіаційний ряд з частотою (ni)

            Хі    9  10  11  12  13  14  15

             ni    1   1    2    3    2    1    1

6.2 Варіаційний ряд з відносною частотою ()

             Хі        9 10 11 12 13 14 15

,%   9  9  18 27 18   9   9

7. Накопичена частота (К)

             Хі   9 10 11 12 13 14  15

              К   1   2   4   7   9 10  11   

8. Медіана ()

У зв'язку з тим, що приведена вибірка непарна, медіану розраховуємо за формулою:

 = Х (N + 1)/2

 = Х (11+1)/2 = Х(12/2) = Х6

 Х6 - порядковий номер (6) варіанти в ранжируваному ряду

 Х6 = 12

9. Мода (МоХ)

МоХ = 12, тому, що варіанта 12 зустрічається частіше за все - 3 рази (ni (12) =3)

10. Середнє арифметичне значення ()

Розраховуємо  за формулою зваженого середнього арифметичного значення:

Зважене середнє арифметичне значення, якщо не всі n=1, де

        - знак підсумовування, i - індекс, j - кількість варіант у варіаційному ряді.

У середньому кожний з 11 юнаків виконав 12 підтягувань у висі на перекладині.

11.а) Графік залежності варіанти (Хі) від частоти (ni)

Рисунок 5.4 ‑Графік залежності варіанти (Хі) від частоти (ni)

Розподіл за цим графіком відповідає нормальному закону розподілу - куполоподібний графік, значення ,  і Мох збігаються; переважне нагромадження варіант зосереджено в центрі, з віддаленням від центру кількість їх поступово зменшується, і зберігається абсолютна симетрія лівого і правого крила нормальної кривої.

Для побудови полігону розподілу, гістограми ікумуляти, необхідно визначити границі інтервалів, а для цього розраховуємо крок інтервалу:

К = 4, тому, що обсяг вибірки дорівнює 12.

За допомогою кроку інтервалу, будуємо границі інтервалів, визначаємо частоту і накопичену частоту.

Наприклад, частота першого інтервалу (9 - 10,5) дорівнює 2, тому, що у цей інтервал входять варіанти (9, 10).

б) Полігон розподілу

По абсцисі - середина інтервалу, по ординаті - частота.

Рисунок 5.5 ‑Полігон розподілу

в) Гістограма

По абсцисі - інтервали, по ординаті - частоти.

Рисунок 5.6 ‑Гістограма

г) Кумулята

По абсцисі - інтервали, по ординаті - накопичена частота.

Рисунок 5.7 ‑Кумулята

Висновок: Група з одинадцятьох спортсменів, які виконують підтягування у висі на перекладині, підібрана правильно з урахуванням статі, спеціалізації і кваліфікації, тому, що значення ,  і МоХ однакові.Графік залежності варіанти від частоти відповідає нормальному закону розподілу. Група може брати участь у подальших дослідженнях.

Завдання

1. Ознайомитися і знати теоретичні відомості з теми "Метод середніх величин. Визначення вірності добору групи, яка підлягає дослідженню”,вміти відповісти на запитання.

2. Виконати роботу відповідно до прикладу зі свого виду спорту.

Питання для самоконтролю

1.Яким символомпозначається обсяг вибірки?

2.Як позначається варіанта?

3.Що називається ранжируванням?

4.Що називається частотою  варіанти?

5.Що називається варіаційним рядом?

6.Як визначається середнє арифметичне?

7.Що характеризує медіана?

8.Що характеризує мода?

9.Який рисунок відповідає нормальному закону розподілу?

А)

      Б)

В)