Лінійна алгебра

Сайт: Система електронного забезпечення навчання ЗНУ
Курс: VideoMOODLE
Книга: Лінійна алгебра
Надруковано: Гість-користувач
Дата: Monday 22 April 2024 19:09 PM

1. Матриці

Поняття матриці та визначника.

Прямокутна таблиця чисел {\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1n}\\a_{21}& a_{22}& \dots& a_{2n}\\ \dots& \dots& \dots & \dots\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots& a_{mn} \end{array}\right)} називається матрицею.
Числа {a_{ij}} називаються елементами матриці, причому i-номер рядка, а j-номер стовпця, на перетині яких міститься цей елемент.
Кажуть, що матриця має розмір {m \times n}, якщо вона складається з {m} рядків і {n} стовпців.
Якщо {m = n}, матриця називається квадратною.

Приклад: Матриця {A=\left(\begin{array}{rrrr}1&3&-1&2\\2&-1&3&5\\1&10&-6&1\end{array}\right)} має розмер 3х4, а квадратна матриця {B=\left(\begin{array}{rr}3&-1\\-1&5\end{array}\right)} має розмір 2х2.

Важливою числовою характеристикою квадратної матриці розміру {n \times n} {\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{array}\right)}є визначник {n}-го порядку {\Delta = \left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{ 22}&\dots&a_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{array}\right|}.
Визначник матриці - це число, що обчислюється за спеціальними правилами з використанням всіх елементів цієї матриці.
Порядок визначника дорівнює числу його рядків та стовпців (для квадратної матриці число рядків та стовпців завжди співпадає!).
Якщо треба підкреслити, що розглядається визначник саме матриці А, використовують позначення |A| або {\det(A)}.
Відмітимо, що часто визначник розглядають як самостійний математичний об'єкт, що має рядки та стовпці і дорівнює певному числу, яке при цьому називається значенням визначника.
Правила обчислення визначників другого та третього порядків достатньо прості, тому починаемо саме з них.

Визначники другого порядку.

Значення визначника другого порядку обчислюється за правилом {\left|\begin{array}{cc}a&b\\ c&d \end{array}\right|=ad-bc}
Наприклад, {\Delta=\left|\begin{array}{rr}3&-1\\-1&5\end{array} \right|=3 \cdot 5 -(-1)(-1)=15-1=14}

Визначники третього порядку.

Поступово ми розглянемо декілька методів, точніше, прийомів, обчислення визначників третього порядку.
Почнемо з базової формули для цього визначника: {\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{ 23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right|=a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}}
Наприклад, {\Delta=\left|\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array}\right|=1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 - 3 \cdot 5 \cdot 7 - 1 \cdot 6 \cdot 8 - 2 \cdot 4 \cdot 9 = 45+84+96-105-48-72 = 0}
Якщо уважноо придивитись до цієї формули, можна побачити, що доданки складаються з трійок множників, що взяті по одному з кожного рядка і кожного стовпця. Втім, формула, все одно, залишається важкою для запам'ятовування.
Тому, для обчислення, або, як кажуть, розкриття визначника третього порядку використовують допоміжні правила, найвідоміше з яких - правило трикутників, або, інакше, правило Сарррюса, ми тут і наводимо.
У кожного визначника існують дві діагоналі: та, що йде з лівого верхнього в правий нижній кут називається головною діагоналлю, а та, що йде з правого верхнього в лівий нижній кут - побічною. За правилом трикутників, трійки множників, що складають вищенаведену формулу утворюються з елементів цих діагоналей і елементів в вершинах певних трикутників, причому голавна діагональ і два трикутники, що мають паралельні їй сторони, породжують додатні доданки, а побічна діагональ і відповідні їй трикутники - від'ємні доданки. Це правило добре ілюструється такою схемою.

sarruce

Наведемо ще одну схему, еквивалентну попередній.
Метод полягає в тому, що до заданого визначника праворуч дописуються ще два стовпці, які повторюють відповідно перший та другий стовпець заданого визначника. {\left|\begin{array}{ccc}a&b&c\\a&b&c\\ a&b&c \end{array}\right|\Rightarrow \left|\begin{array}{ccccc}a&b&c&a&b\\a&b&c&a&b\\ a&b&c&a&b \end{array}\right|}.
Тепер для обчислення визначника потрібно перемножити трійки елементів, що стоять на діагоналях, причому, при їх додаванні, діагоналі, паралельні головній діагоналі, породжують додатні доданки, а паралельні побічній - від'ємні.

sarruce

Інші прийоми обчислення визначників, що спираються на їх властивості, будуть розглянуті в подальших пунктах.


1.1. Визначники


Сформульовані нижче властивості залишаються вірними для визначників будь-якого порядку.
Перш, ніж перейти до формулювання властивостей, дамо означення однієї важливої операції з визначниками, яка також широко використовується в матричному численні.

Транспонуванням визначника (або матриці) називається заміна його рядків відповідними стовпцями.

При транспонуванні визначник начебто відбивається відносно головної діагоналі.

{\;\;\left|\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&a&b\\ e&d&a \end{array}\right|\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}a&d&e\\b&a&d\\ c&b&a \end{array}\right|}.

Властивості визначників.

1. Величина визначника не змінюється при транспонуванні.

{\;\;\left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
                    a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{array}\right|}

Таким чином, у визначнику можна змінювати місцями рядки із стовпцями, а це, зокркма, означає, що у визначнику рядки і стовпці рівноправні: всі властивості, що відносяться до стовпців, вірні також для рядків, і навпаки.


2. Якщо у визначнику поміняти місціми два рядки (або стовпця), то визначник змінює знак, зберігаючи абсолютну величину.

{\;\;\left|\begin{array}{ccc}\bf
                    a_{11}&\bf a_{12}&\bf a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right|=\;-\;\left|\begin{array}{ccc}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\bf a_{11}&\bf a_{12}&\bf a_{13}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}
                    \end{array}\right|}


3. Спільний множник рядка або стовпця можна винести за знак визначника.

{\;\;\left|\begin{array}{ccc} k\cdot a_{11}& a_{12}& a_{13}\\k\cdot
                    a_{21}&a_{22}&a_{23}\\k\cdot a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right|=\;k\cdot \left|\begin{array}{ccc}a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right|}


4. Визначник, що має дві рівних або пропорційних рядка, дорівнює нулю.

{\;\;\left|\begin{array}{ccc} a& b& c\\a&b&c\\d&e&f
                    \end{array}\right|=\;0.

5. Якщо визначник містить рядок (стовпець) з нулів, то він дорівнює нулю.

{\;\;\left|\begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12}&0\\a_{21}&a_{22}&0\\
                    a_{31}&a_{32}&0 \end{array}\right|=\;0.}


6. Якщо до елементів рядка (стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне і те ж число, визначник не змінить свого значення.

{\;\; \left|\begin{array}{ccc}a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right|=\;\left|\begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12}& a_{13}+k\cdot a_{11}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}+k\cdot
                    a_{21}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}+k\cdot a_{31} \end{array}\right|}


Використання властивостей.

Наведемо приклади, що показують, як можна використовувати властивості визначників при їх обчисленні.

1. Винесення спільного множника часто спрощую процес обчислення визначника.


{\;\;\left|\begin{array}{cc} 24& 48\\25 &75 \end{array}\right|\;=\;24 \cdot 25 \cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1&3 \end{array}\right|\;=\;24 \cdot 25 \cdot (3-2)\;=\;600}
З першого рядка винесений множник 24, а з другого - 25.

2.

{\;\;\left|\begin{array}{rrr}1&5&2\\3&1&6\\ 4&3&8 \end{array}\right|=0}

Перший і третій стовпчики визначника пропорційні, отже, за властивістю 4, цей визначник дорвнює нулю.

3. Втім, найчастіше використовується властивість 6.

{\;\;\left|\begin{array}{rrr}3&-1&5\\2&1&-4\\ 1&2&3 \end{array}\right|}
Додамо другий рядок до першого:

{\;\;\left|\begin{array}{rrr}3&-1&5\\2&1&-4\\ 1&2&3 \end{array}\right|=\;\left|\begin{array}{rrr}5&0&1\\2&1&-4\\ 1&2&3 \end{array}\right|=}
Тепер домножимо елементи другого рядка на 2 і віднімемо від третього рядка:

{\;=\;\left|\begin{array}{rrr}5&0&1\\2&1&-4\\ 1&2&3 \end{array}\right|=\;\left|\begin{array}{rrr}5&0&1\\2&1&-4\\
                    -3&0&11 \end{array}\right|=}
Якщо тепер розкривати визначник за правилом трикутників, то серед трійок множників ненульовими залишаються тільки дві:

{\;=\;\left|\begin{array}{rrr}5&0&1\\2&1&-4\\
                    -3&0&11 \end{array}\right|=\;5\cdot 1\cdot 11 - 1\cdot 1\cdot (-3)=55+3=58}