Книга

3. Правило Крамера

Розглянемо використання визначників для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

.

Правило Крамера.

Система трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими {x_1,\,x_2,\,x_3} має вигляд: 

{\;\;\left\{ \begin{array}{rcl}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=&b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=&b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=&b_3 \end{array}\right.} 

Тут {a_{ij}} - числа, що називаються коеэфіцієнтами системи, а {b_i} - задані числа, що представляють праву частину, які ще називаються вільними членами. 
Розв'язком системи називається впорядкований набір з трьох чисел, при підстановці яких в рівняння замість невідомих {x_1,\,x_2\,x_3} всі три рівняння обертаються в тотожності.
Нашею метою як раз и є знаходження розв'язку системи. 

З кожною такою системою пов'язані чотири визначники: головний визначник системи - {\Delta} і три побічних визначники {\Delta_1,\,\Delta_2\,\Delta_3}. 
Головний визначник складається з коефіцієнтів системи, а кожний побічний утворюється з головного заміною відповідного стовпц на стовпець вільних членів: у визначнику {\Delta_1} замінюється перший стовпець, а, скажімо, у визначнику {\Delta_3} - третій стовпець. 
{\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right|},

\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}b_1&a_{12}&a_{13}\\b_2&a_{22}&a_{23}\\ b_3&a_{32}&a_{33} \end{array}\right|, \Delta_2 = \left|\begin{array}{ccc}a_{11}&b_1&a_{13}\\a_{21}&b_2&a_{23}\\ a_{31}&b_3&a_{33} \end{array}\right|, \,\Delta_3 = \left|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&b_1\\a_{21}&a_{22}&b_2\\ a_{31}&a_{32}&b_3 \end{array}\right|\,.

Правило Крамера полягає в тому, що, якщо головний визначник не дорівнює нулю, то система має єдиний розв'язок, який можна знайти діленням побічних визначників на головний визначник системы. 

{x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\,\,x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\,\,x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}} 



Приклад

Розв'язати систему 

\;\;\left\{\begin{array}{rcl}3x_1+2x_2-x_3&=&3\\x_1-5x_2+x_3&=&-2\\ 2x_1+x_2-x_3&=&1 \end{array}\right. 

Розв'язання. 
{\Delta = \left|\begin{array}{rrr}3&2&-1\\1&-5&1\\ 2&1&-1 \end{array}\right|=15-1+4-10+2-3=7;}

{\Delta_1 = \left|\begin{array}{rrr}3&2&-1\\-2&-5&1\\ 1&1&-1 \end{array}\right|=15+2+2-5-3-4=7;}

{\Delta_2 = \left|\begin{array}{rrr}3&3&-1\\1&-2&1\\ 2&1&-1 \end{array}\right|=6-1+6-4+3-3=7;}

{\Delta_3 = \left|\begin{array}{rrr}3&2&3\\1&-5&-2\\ 2&1&1 \end{array}\right|=-15+3-8+30-2+6=14;}

Підставляючив формули Крамера отримаємо 

{x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{7}{7}=1,\,\,x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{7}{7}=1,\,\,x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{14}{7}=2}

Відповідь. 
{x_1=1,\,\,x_2=1,\,\,x_3=2}