Лінійна алгебра: Визначники

Лінійна алгебра

1. Матриці

1.1. Визначники

Сформульовані нижче властивості залишаються вірними для визначників будь-якого порядку.
Перш, ніж перейти до формулювання властивостей, дамо означення однієї важливої операції з визначниками, яка також широко використовується в матричному численні.

Транспонуванням визначника (або матриці) називається заміна його рядків відповідними стовпцями.

При транспонуванні визначник начебто відбивається відносно головної діагоналі.

${\;\;\left|\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&a&b\\ e&d&a \end{array}\right|\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}a&d&e\\b&a&d\\ c&b&a \end{array}\right|}$ .

Властивості визначників.

1. Величина визначника не змінюється при транспонуванні. ${\;\;\left\|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{array}\right\|}$ Таким чином, у визначнику можна змінювати місцями рядки із стовпцями, а це, зокркма, означає, що у визначнику рядки і стовпці рівноправні: всі властивості, що відносяться до стовпців, вірні також для рядків, і навпаки.
2. Якщо у визначнику поміняти місціми два рядки (або стовпця), то визначник змінює знак, зберігаючи абсолютну величину. ${\;\;\left\|\begin{array}{ccc}\bf a_{11}&\bf a_{12}&\bf a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\|=\;-\;\left\|\begin{array}{ccc}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\bf a_{11}&\bf a_{12}&\bf a_{13}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\|}$
3. Спільний множник рядка або стовпця можна винести за знак визначника. ${\;\;\left\|\begin{array}{ccc} k\cdot a_{11}& a_{12}& a_{13}\\k\cdot a_{21}&a_{22}&a_{23}\\k\cdot a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\|=\;k\cdot \left\|\begin{array}{ccc}a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\|}$
4. Визначник, що має дві рівних або пропорційних рядка, дорівнює нулю. ${\;\;\left\|\begin{array}{ccc} a& b& c\\a&b&c\\d&e&f \end{array}\right\|=\;0.$
5. Якщо визначник містить рядок (стовпець) з нулів, то він дорівнює нулю. ${\;\;\left\|\begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12}&0\\a_{21}&a_{22}&0\\ a_{31}&a_{32}&0 \end{array}\right\|=\;0.}$
6. Якщо до елементів рядка (стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне і те ж число, визначник не змінить свого значення. ${\;\; \left\|\begin{array}{ccc}a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\|=\;\left\|\begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12}& a_{13}+k\cdot a_{11}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}+k\cdot a_{21}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}+k\cdot a_{31} \end{array}\right\|}$

Використання властивостей.

Наведемо приклади, що показують, як можна використовувати властивості визначників при їх обчисленні.

1. Винесення спільного множника часто спрощую процес обчислення визначника.

${\;\;\left|\begin{array}{cc} 24& 48\\25 &75 \end{array}\right|\;=\;24 \cdot 25 \cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1&3 \end{array}\right|\;=\;24 \cdot 25 \cdot (3-2)\;=\;600}$
З першого рядка винесений множник 24, а з другого - 25.

2.

${\;\;\left|\begin{array}{rrr}1&5&2\\3&1&6\\ 4&3&8 \end{array}\right|=0}$

Перший і третій стовпчики визначника пропорційні, отже, за властивістю 4, цей визначник дорвнює нулю.

3. Втім, найчастіше використовується властивість 6.

${\;\;\left|\begin{array}{rrr}3&-1&5\\2&1&-4\\ 1&2&3 \end{array}\right|}$
Додамо другий рядок до першого:

${\;\;\left|\begin{array}{rrr}3&-1&5\\2&1&-4\\ 1&2&3 \end{array}\right|=\;\left|\begin{array}{rrr}5&0&1\\2&1&-4\\ 1&2&3 \end{array}\right|=}$
Тепер домножимо елементи другого рядка на 2 і віднімемо від третього рядка:

${\;=\;\left|\begin{array}{rrr}5&0&1\\2&1&-4\\ 1&2&3 \end{array}\right|=\;\left|\begin{array}{rrr}5&0&1\\2&1&-4\\ -3&0&11 \end{array}\right|=}$
Якщо тепер розкривати визначник за правилом трикутників, то серед трійок множників ненульовими залишаються тільки дві:

${\;=\;\left|\begin{array}{rrr}5&0&1\\2&1&-4\\ -3&0&11 \end{array}\right|=\;5\cdot 1\cdot 11 - 1\cdot 1\cdot (-3)=55+3=58}$

1. Величина визначника не змінюється при транспонуванні. ${\;\;\left\|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{array}\right\|}$ Таким чином, у визначнику можна змінювати місцями рядки із стовпцями, а це, зокркма, означає, що у визначнику рядки і стовпці рівноправні: всі властивості, що відносяться до стовпців, вірні також для рядків, і навпаки.
2. Якщо у визначнику поміняти місціми два рядки (або стовпця), то визначник змінює знак, зберігаючи абсолютну величину. ${\;\;\left\|\begin{array}{ccc}\bf a_{11}&\bf a_{12}&\bf a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\|=\;-\;\left\|\begin{array}{ccc}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\bf a_{11}&\bf a_{12}&\bf a_{13}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\|}$
3. Спільний множник рядка або стовпця можна винести за знак визначника. ${\;\;\left\|\begin{array}{ccc} k\cdot a_{11}& a_{12}& a_{13}\\k\cdot a_{21}&a_{22}&a_{23}\\k\cdot a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\|=\;k\cdot \left\|\begin{array}{ccc}a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\|}$
4. Визначник, що має дві рівних або пропорційних рядка, дорівнює нулю. ${\;\;\left\|\begin{array}{ccc} a& b& c\\a&b&c\\d&e&f \end{array}\right\|=\;0.$
5. Якщо визначник містить рядок (стовпець) з нулів, то він дорівнює нулю. ${\;\;\left\|\begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12}&0\\a_{21}&a_{22}&0\\ a_{31}&a_{32}&0 \end{array}\right\|=\;0.}$
6. Якщо до елементів рядка (стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне і те ж число, визначник не змінить свого значення. ${\;\; \left\|\begin{array}{ccc}a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right\|=\;\left\|\begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12}& a_{13}+k\cdot a_{11}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}+k\cdot a_{21}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}+k\cdot a_{31} \end{array}\right\|}$