ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1: ЗМ

Матриці - математичні об'єкти, які мають вигляд таблиць з числовими елементами. Матрицею розміру називається прямокутна таблиця чисел, яка містить рядків і стовпців. Числа, які складають матрицю, називаються елементами матриці. Ці елементи обрамляють круглими дужками, а самі матриці позначають великими латинськими літерами.

або в скороченому запису: , ; .

В складних числових розрахунках можна зустріти трьохвимірні матриці (у вигляді кубиків) та багатовимірні. Однак Ви їх при здобутті вищої освіти зустрічати точно не будете, тому далі мова піде тільки про знайомі для більшості матриці. Горизонтальні елементи матриці називають елементами рядків, вертикальні – відповідно елементами стовпців. В позначеннях розмірності матриці перший індекс вказує кількість рядків, другий - кількість стовпців.

Наприклад, запис ₄_х₅ вказує на те, що матриця має 4 рядки і 5 стовпців.

– матриця-рядок (складається з одного рядка);

– матриця-стовпець (складається з одного стовбця).

Види матриць

В залежності від розмірності та вмісту матриці поділяють на

1) Квадратні _nxnта прямокутні матриці _mxn. Наприклад,

прямокутна матриця – прямокутна матриця;

квадратна матриця – квадратна матриця.

2) Одинична матриця – по головній діагоналі одиниці, решта всі елементи рівні нулеві. Позначають великою латинською літерою E.

Для прикладу, матриця

одинична матриця є одиничною матрицею третього порядку.

3) Діагональна – елементи поза головною діагоналлю нульові, на головній – будь-які. Наприкалад, діагональною є матриця третього порядку:

діагональна матриця

4) Симетрична матриця – елементи такої матриці симетричні відносно головної діагоналі .

Симетрична матриця

5) Верхня трикутна (нижня трикутна ) матриця – елементи під діагоналлю (над діагоналлю) в таких матрицях нульові. Наприклад,

Верхня трикутна – Верхня трикутна матриця . Нижня трикутна Нижня трикутна матриця .

6) Нульова матриця - нуль-матриця, якщо всі елементи дорівнюють нулю:

1. Дії над матрицями

Основними операціями над матрицями є додавання, віднімання, множення, транспонування. Щоб легше Вам було зрозуміти правила, наведемо короткі приклади.

Сумою (різницею) двох матриць називають матрицю, елементи якої утворюються попарним додаванням (відніманням) елементів матриць.

Для прикладу, додавання двох матриць

сума, додавання матриць

та їх різниця

віднімання, різниця матриць

Слід зазначити, що додавати та віднімати можна лише матриці однакових розмірів, тобто кількість рядків першої матриці має дорівнювати кількості рядків другої, те саме стосується і стовпців. Однак кількість рядків і стовпців матриць може не співпадати, тобто сумувати та шукати різниці можна як для квадратних матриць так і для прямокутних.

Транспонуванням матриці називають впорядковану заміну рядків матриці стовпцями і позначають .

На практиці транспонування матриці виглядає наступним чином

транспонування матриці

Вибирайте, що Вам візуально зрозуміліше – обидва варіанти дають правильний результат.

Властивості операцій транспонування матриць запишемо в матричному вигляді

1. (A^T)^T=A

2. (A+B)^T=A^T+B^T

3. (AB)^T=B^TA^T

Результатом множення матриці на число α буде матриця B, елементи якої збільшені в α разів порівняно з A, тобто .

Наприклад, якщо , то .

Множення (добуток) двох матриць знаходять за правилом, яке можна застосувати лише до матриць в яких кількості стовпців першої та рядків другої матриці співпадають j=m. В результаті отримують матрицю , розмірності кількості рядків першої на стовпців другої з елементами , які дорівнюють сумі попарних добутків елементів k-го рядка першої матриці на елемент j-го стовпця другої матриці:

де ; .

Схематично це можна проiлюструвати наступним чином:

На перший погляд складне і запутане правило досить легко пояснити на практиці. Нехай маємо дві матриці

матриці

Елементи рядків першої і стовпців другої матриці позначимо в різні кольори для того, щоб наочніше продемонструвати правило множення матриць. Умова рівності кількості стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої - виконується (3=3).

Виконуємо обчислення елементів добутку матриць

Записуючи матрицю в табличному вигляді:

Легко переконатися, що утворена матриця має розмірність 2 – кількості рядків першої матриці на 3 – кількість стовпців другої (про що і було сказано у правилі). За тими ж правилами знаходять добутки квадратних і прямокутних матриць великих розмірів, кількість обчислень при цьому зростає.

Основні властивості операцій додавання матриць і множення матриці на число:

1. A+B=B+A (комутативність).

2. A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативність).

3. A+0=A, при будь-якій матриці A.

4. Для будь-якої матриці A існує протилежна матриця (−A), така, що A+(−A)=0.

Властивості множення матриць:

1. (αA)B=A(αB)=α AB, де α- число.

2. (A₁+A₂)B=A₁B+A₂BA(B₁+B₂)=AB₁+AB₂

3. A(BC)=(AB)C (асоціативність).

Множення матриць є некомутативною операцією.

До елементарних перетворень матриць належать такі операції:

1) змінювання місцями будь-яких двох рідків або стовпців;

2) множення рядка або стовпця на довільне число, відмінне від нуля;

3) додавання до будь-якого рядка або стовпця лінійної комбінації інших рядків або стовпців;

4) дописування або викреслювання рядка ( чи стовпця ), що повністю складаєтсья з нулів.

Дві матриці називають еквівалентними, якщо від однієї з них можна перейти до другої за допомогою скінченного числа елементарних перетворень.

Визначники, властивості й обчислення

Матриці, у яких число рядків збігається з числом стовпців, є квадратною. Квадратній матриці розмірності n відповідає число, яке називають визначником n-го порядку або детермiнантом та позначають det A, ∆A, ∆.

Визначником перщого порядку матрицi A₁ = (a₁₁) називається число det A= a₁₁.

Розглянемо матрицю другого порядку А = , якій відповідає визначник другого(2-го) порядку, що позначається символом:

Способи обчислення визначників третього (3-го) порядку.

1. Правило трикутника

2. Правило Сарруса.

3. За допомогою мінорів

Напишемо розкладання визначника за правилом трикутника:

Визначники другого порядку в цьому розкладанні називаються мінорами відповідних елементів

Якщо мінор узяти з відповідним знаком, то одержуємо так звані алгебраїчні доповнення елементів . Знак мінора можна визначити за правилом (-1)^i+j, де i – номер рядка, j – номер стовпця, на перетині яких знаходиться той елемент, алгебраїчне доповнення якого ми обчислюємо. Якщо (i+j) – парне число, то мінор беремо зі своїм знаком, якщо (i+j) – непарне, то знак алгебраїчного доповнення протилежний знаку мінора:

, .

Властивості визначників

1. Якщо який-небудь рядок (стовпець) матриці складається з одних нулів, то її визначник дорівнює .

2. При транспонуванні матриці її визначник не змінюється: .

3. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) матриці помножити на число , то її визначник збільшиться на число .

4. Якщо один визначник отримано з іншого перестановкою двох рядків (стовпців), то всі члени першого визначника будуть членами і другого, але зі зворотними знаками, тобто від перестановки двох рядків (стовпців) визначник лише змінює знак.

5. Якщо квадратна матриця містить два однакові рядки (стовпці), то її визначник дорівнює нулю.

6. Якщо елементи двох рядків (стовпців) матриці пропорційні, то її визначник дорівнює нулю.

7. Якщо всі елементи -го рядка визначника -го порядку представлені у виді суми двох доданків:

то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких усі рядки, крім -го – такі ж, як і в заданому визначнику, а -й рядок в одному з доданків складається з елементів , а в іншому – з елементів .

8. Сума добутків елементів якого-небудь рядка (стовпця) матриці на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) цієї матриці дорівнює , тобто при .

9. Якщо один з рядків матриці є лінійна комбінація його інших рядків, то визначник дорівнює нулю.

10. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів якого-небудь рядка (стовпця) матриці додати елементи іншого рядка (стовпця), попередньо помножені на те саме число.

11. Сума добутків довільних чисел на алгебраїчні доповнення елементів будь-якого рядка (стовпця) дорівнює визначнику матриці, отриманої з даною заміною елементів цього рядка (стовпця) на числа .

12. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їхніх визначників: , де , і – матриці -го порядку.

Методи розв’язання систем лінійних рівнянь

Метод Крамера розв’язання систем лінійних рівнянь

Нехай дана система m-лінійних рівнянь з n-невідомими:

(1)

де - невідомі, - коефіцієнти, - вільні члени системи.

- основна матриця системи.

- головний визначник системи (1)

Розглянемо випадок, коли m = n.

Теорема Крамера. Якщо визначник основної матриці системи n – рівнянь першого порядку з m невідомими відмінний від нуля, то система має єдине рішення. При цьому значення кожного з невідомих дорівнює частці від ділення двох визначників: у знаменнику - визначник системи, а в чисельнику - визначник, отриманий з основного визначника заміною стовпця, що відповідає обраній невідомій, стовпцям вільних членів:

…,

Для системи двох лінійних рівнянь

формули Крамера мають вигляд:

де

Для системи трьох рівнянь з трьомя невідомими:

(2)

формули Крамера мають вигляд:

(3)

де Δ – головний визначник системи (2), Δ_х, Δ_у, Δ_z – допоміжні визначники.

Якщо Δ ≠ 0, то система (2) має єдине рішення, знайдене за формулою (3).

Якщо Δ = 0, а хоча б один з визначників Δ_х, Δ_у, Δ_zвідмінний від нуля, то система (2) не має розвязків.

Якщо Δ = 0 і Δ_х = Δ_у= Δ_z = 0, то система (2) має безліч рішень.

Розв’язання систем лінійних рівнянь методом оберненої матриці

Приклад

Розв’язати системи рівнянь етодом оберненої матриці:

Розв’язання.

а) Знайдемо визначник системи:

Оскільки , то система має єдиний розв’язок та обернену матрицю.

Знайдемо обернену матрицю, для цього знайдемо алгебраїчні доповнення :

Оскільки , то

тобто маємо .

Відповідь. .

Питання та завдання до самоконтроля

1. Які існують види матриць?

2. Які дії виконують над матрицями?

3. Назвіть елементарні перетворення матриць.

4. Що називається матрицею? Визначником?

5. Як визначається розмірність матриці (визначника)?

6. Сформулюйте правило обчислення визначників 2-го порядку

7. Які існують способи обчислення визначників 3-го порядку.

8. Що називається мінором довільного елемента? Алгебраїчним доповненням?

9. Сформулюйте теорему Крамера для системи n-лінійних рівнянь.

10. Запишіть формули Крамера для систем 2-х і 3-х лінійних рівнянь.

11. Як досліджувати систему лінійних рівнянь за допомогою визначників?

12. Сформулюйте властивості визначників.

13. У якому випадку систему лінійних рівнянь можна розв’язувати методом Крамера?

14. Сформулюйте алгоритм метода Крамера.

15. Сформулюйте алгоритм метода Крамера.

16. Сформулюйте алгоритм метода оберненої матриці.

Тема 2. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії

Основні означення векторної алгебри. Лінійні операції над векторами.

Поняття базису. Розклад вектора за ортонормованим базисом.

Загальне рівняння прямої на площині. Види прямої на площині.

Основні означення векторної алгебри. Лінійні операції над векторами

Величини, з якими ми зустрічаємося в механіці, фізиці і в інших прикладних дисциплінах, виділяють скалярні і векторні.

Наприклад, скалярні величини: площа, об’єм, довжина відрізка, маса, час і т.п.; векторні величини: сила, момент, швидкість, прискорення і т.п.

Означення. Величини, для характеристики яких достатньо вказати тільки їх числове значення, називають скалярним.

Означення. Величини, для характеристики яких крім їх числового значення необхідно вказати ще й напрямок, називають векторними.

Термін “вектор” – переносник ввів у 1848 році Гамільтон.

Геометричною моделлю векторної величини є напрямний відрізок-вектор

Вектор, початок якого в точці А, кінець в точці В – позначається або

Означення. Відстань між початком вектора та його кінцем називається довжиною (модулем) вектора та позначається або .

Означення. Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називають одиничним вектором. Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називають нульовим вектором. (Нульовий вектор не має напрямку).

Означення. Одиничний вектор, довжина якого співпадає з напрямком вектора називається ортом вектора та позначається :

Означення. Два вектори вважаються рівними, якщо вони мають однакову довжину, паралельні і направлені в один і той же бік.

Вектори, рівні по модулю, паралельні, але мають напрямки в протилежні боки називаються – взаємо протилежними

Означення. Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

, , - колінеарні вектори

(║ ║ )

Означення. Проекція вектора на вісь.

Число , тобто величина напрямного відрізка , осі є проекція вектора на вісь .

Проекція вектора на вісь обчислюється за формулою:

де - кут, утворений вектором з віссю .

Лінійні операції над векторами

Додавання векторів

а) додавання векторів

Сумою двох векторів і називають такий третій вектор , який виходить з їх спільного початку, і є діагоналлю паралелограму, сторонами якого служать доданки векторів.

Множення векторів на дійсне число

Нехай задані вектор та дійсне число

При множенні вектора на дійсне число отримаємо вектор , який колінеарний вектору , має довжину і напрямок однаковий з напрямком вектора , якщо >0 і протилежний напрям, якщо <0.

Віднімання векторів

Різницею двох векторів називають третій вектор , який в сумі з вектором дає вектор .

Лінійна залежність і незалежність векторів

Розглянемо n векторів . Виконаємо над ними різні лінійні операції. Отримаємо вектор:

Будемо називати вектор лінійною комбінацією векторів .

Означення. Вектори називаються лінійно - залежними, якщо хоча б один з них є лінійною комбінацією решти векторів, тобто якщо

де - дійсні числа.

Означення. Вектори називаються лінійно-залежними, якщо виконується рівність

де - дійсні числа , не всі рівні нулю одночасно.

Означення. Вектори називаються лінійно незалежними, якщо рівність виконується при умові, що всі одночасно рівні нулю.

Два неколінеарних вектора, три некомпланарних вектора, лінійно незалежні.

Скалярний добуток векторів, означення та властивості

До цих пір розглянуто тільки ті операції над векторами (додавання, віднімання та множення на число), в результаті яких отримуємо вектор. Але на практиці часто потрібно знаходити добуток векторів; під час цієї дії можна отримати вектор або скаляр.

Нехай задані два вектора і , які приведені до спільного початку та складають кут між собою :

Означення. Скалярним добутком двох векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів та косинуса кута між ними:

Скалярний добуток можна записати в другому вигляді, якщо з рис.1

або

Означення. Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку модуля одного вектора та проекції другого на напрямок першого вектора.

3 формул (1), (2) можна отримати:

та

Властивості скалярного добутку:

4) Має місце поняття скалярного квадрата:

5) Скалярний добуток дорівнює нулю, якщо один з векторів і нульовий, або вектори перпендикулярні:

- умова перпендикулярності векторів.

Скалярний добуток в координатній формі

Нехай вектори і задані своїми розкладами в ортонормованному базисі:

Неважко помітити, що

Враховуючи формулу (5) (6), формули (3) та (4) мають вид:

Векторний добуток векторів, означення та властивості

Означення. Векторним добутком векторів і наз. третій вектор , модуль якого дорівнює площі паралелограмa, побудованого на цих векторів як на сторонах, який перпендикулярний до векторів і та напрямлен так, що з його кінця найкоротший поворот вектора до можна побачити проти ходу годинкової стрілки.

Властивості векторного добутку

4) Векторний добуток дорівнює нулю, якщо або вектор нульовий, або вектор нульовий, або і колінеарні

180º0º=0-

Векторний добуток в координатній формі

Якщо вектори і задані своїми координатами, можна показати, що векторний добуток в кординатній формі дорівнює визначнику 3-го порядку, у якого першим рядком є орти другим рядком – координати першого вектора; третім рядком - координати другого вектора:

тобто вектор має координати:

Якщо ‖., тоді, за властивостю (4), векторний добуток цих векторів

Тоді умова колінеарності вектора і полягає в тому, що координати колінеарних векторів пропорційні.

Мішаний добуток векторів, означення та геометричний зміст

Означення. Якщо два вектора і помножити векторно , отриманий вектор скалярно помножити на третій вектор , то отримуємо скаляр: . Такий добуток векторів , , називається мішаним або векторно-скалярним.

Властивості мішаного добутку:

1. Послідовна перестановка співмножників не змінює знак мішаного добутка:

2. Перестановка двох з співмножників змінює знак мішаного добутка на протилежний:

3. Мішаний добуток дорівнює нулю, якщо або або або вектори компланарні:

- умова компланарності векторів.

Мішаний добуток в координатній формі дорівнює визначнику третього порядку, рядки якого є координати відповідних векторів , , :

Тоді = 0 - умова компланарності векторів , , .

Геометричний зміст мішаного добутку: абсолютна величина мішаного добутку дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, як на ребрах:

За допомогою мішаного добутку можна обчислити об’єм піраміди ABCD:

V_ABCD=

Поняття базису. Розклад вектора за ортонормованим базисом

Означення. Упорядкована пара неколінеарних векторів називається базисом на площині.

Теорема 1. Будь-який вектор на площині можна представити як лінійну комбінацію базисних векторів(розкласти по базису),та це представлення єдине.

Нехай - базисні вектори, - заданий вектор.

Означення.

Якщо

де - базисні вектори,

то числа називають координатами вектора у заданому базисі, або .

Приклад. - координати вектора в базисі .

Означення. Упорядковану трійку некомпланарних векторів називають базисом у трьохмірному просторі.

Теорема 2. Будь-який вектор в трьохмірному просторі можна представити як лінійну комбінацію базисних векторів (розкласти за базисом), причому, це представлення єдине:

де - базис, - координати вектора в цьому базисі.

Це є формула розкладу вектора за базисом :

Тобто, розкласти вектор за базисом позначає представити його у вигляді лінійної комбінації базисних векторів.

Дії над векторами в базисі

Нехай задані вектори своїми розкладами в базисі :

, .

Значить, відомі їх координати ,

Тоді дії над векторами виконують за формулами:

;

Якщо , то їх координати в цьому базисі рівні між собою:

Розклад вектора за ортонормованим базисом

Розглянемо декартову прямокутну систему координат в просторі

Вектор - довільний вектор, початок якого знаходиться в початку координат. На осях ОX, OY, OZ відкладемо одиничні вектори , які будемо називати ортами. Ці вектори утворюють базис в просторі, який ми будемо називати ортонормованим.

З точки А проведемо перпендикуляр до площани XOY. Основа його точка . Через точку проведемо прямі паралельні осям OX і OY, отримаємо точки С, В. Через точку А проведем пряму до перетину з OZ – отримаємо точку D.

Нехай .

З рис. 2 видно, що

, або ,

тоді маємо

- формула розкладу вектора за ортонормованим базисом .

Нехай відомі координати початку та кінця вектора , тоді, щоб знайти координати вектора, який заданий своїм початком і кінцем, треба від координат кінцевої точки відняти координати початкової точки:

Скалярний добуток векторів, означення та властивості

Нехай задані два вектора і , які приведені до спільного початку та складають кут між собою :

Скалярний добуток можна записати в другому вигляді, якщо з рис.1

або

3 формул (1), (2) можна отримати:

та

Властивості скалярного добутку:

4) Має місце поняття скалярного квадрата:

5) Скалярний добуток дорівнює нулю, якщо один з векторів і нульовий, або вектори перпендикулярні:

- умова перпендикулярності векторів.

Скалярний добуток в координатній формі

Нехай вектори і задані своїми розкладами в ортонормованному базисі:

Неважко помітити, що

Враховуючи формулу (5) (6), формули (3) та (4) мають вид:

Векторний добуток векторів, означення та властивості

Властивості векторного добутку

4) Векторний добуток дорівнює нулю, якщо або вектор нульовий, або вектор нульовий, або і колінеарні

180º0º=0-

Векторний добуток в координатній формі

тобто вектор має координати:

Якщо ‖., тоді, за властивостю (4), векторний добуток цих векторів

Тоді умова колінеарності вектора і полягає в тому, що координати колінеарних векторів пропорційні.

Мішаний добуток векторів, означення та геометричний зміст

Властивості мішаного добутку:

1. Послідовна перестановка співмножників не змінює знак мішаного добутка:

2. Перестановка двох з співмножників змінює знак мішаного добутка на протилежний:

3. Мішаний добуток дорівнює нулю, якщо або або або вектори компланарні:

- умова компланарності векторів.

Тоді = 0 - умова компланарності векторів , , .

За допомогою мішаного добутку можна обчислити об’єм піраміди ABCD:

V_ABCD=

Загальне рівняння прямої на площині. Види прямої на площині

Загальне рівняння прямої на площині та його дослідження

Розглянемо декартову систему кординат XOY. Очевидно, що точці А відповідає х,у на площині. Розглянемо рівняння F(x,y)=0. Це рівняння визначає на площині лінію, як геометричне місце точок, які задовольняють цьому рівнянню. Якщо точка А(х,у) належить цій лінії, то її координати задовольняють даному рівнянню.

Наприклад,: х-у=0, у=х – це геометричне місце точок, для яких ордината дорівнює абсцисі. Таким чином маємо дві задачі:

1. Задана лінія, як геометричне місце точок. Скласти рівняння цієї лінії

2. Задане рівняння лінії. Побудувати графік цієї лінії.

Загальне рівняння прямої

Нехай на площині задана пряма лінія. Скласти рівняння цієї лінії.

Для того щоб зафіксувати положення прямої на площині, досить взяти точку А(х₀,у₀) і вектор n={A,B} – нормальний вектор. Виберемо на прямій довільну точку М(х,у). Нехай ОА=r₀, ОМ=r – радіус-вектори точок А і М. Очевидно, що АМ ┴n, нехай АМ=r, тоді маємо: r₁=r- r₀. Вектор r₁┴n, тоді (r-r₀) ┴n, звідси ясно що їх скалярний добуток дорівнює 0. Тобто

(r- r₀) n=0 (1).

n={A,B}, r- r₀={x-х₀, y-y₀} тоді маємо:

А(x-х₀) + В (y-y₀)=0 (2)

Розкриємо дужки в (2) Ах+Ву-Ах₀-Вy₀=0

Нехай -Ах₀-Вy₀=С, тоді остання рівність прийме вигляд:

(3)

- загальне рівняння прямої лінії на площині.

де – довільні числа; при цьому і не можуть бути одночасно рівними нулю.

Розв’язавши рівняння (3) відносно (, отримаємо

де, вводячи позначення ; матимемо

Дослідження загального рівняння прямої лінії

Допустимо що в рівнянні (3) А=0 , В≠0, С≠0, тоді , звідки

або , де .

- рівняння прямої. паралельної осі , яка відтинає на осі відрізок .

Нехай В=0, А≠0, С≠0 тоді, аналогічно маємо: Ах+С=0, звідси

або , де .

– рівняння прямої, паралельної осі , яка відтинає на осі відрізок .

Якщо С=0, А≠0, В≠0 то рівняння (3) запишеться в вигляді

Ах+Ву=0, звідси

або , де .

Це рівняння прямої, яка проходить через початок координат.

Якщо А=0, С=0, В≠0 , тоді Ву=0, у=0 - рівняння осі ОХ

В=0, С=0, А≠0, Ах=0, х=0 – рівняння осі Оу.

Рівняння з кутовим коефіцієнтом

Розглянемо рівняння (3). розв’яжемо його відносно (, отримаємо

де позначимо ; , тоді маємо

(5)

- рівняння прямої з кутовим коєфіціентом.

де к - кутовий коефіцієнт:, - кут, який утворює пряма з додатнім

напрямком осі ОХ.

Рівняння прямої, що проходить у заданному напрямку

З рівняння (2) А(x-х₀)+В(y-y₀)=0 знайдемо

позначимо-, тоді маємо

у-y₀=k(x-х₀) - рівняння прямої, що проходить через точку (х_0,y₀) у напрямку k.

Це також рівняння – рівняння жмутка (в’язки) прямих з центром в точці (х_0,y₀).

Рівняння прямої, що проходить через дві точки

1спосіб. Розглянемо пряму лінію на площині, що проходить через дві точки М₁таМ₂.

Виберемо на цій прямій довільну точку М(x,у) і розглянемо М₁М_, М₁М₂, очевидно, що М₁М={x-х_1, у-у_1,}, М₁М₂={x₂-х_1, у₂-у_1,}. Вектори М₁М іМ₁М₂ – колінеарні, а значить їх координати пропорційні. Тобто

(7)

рівняння прямої, що проходить через дві точки.

2-й спосіб. Запишемо рівняння жмутка /в’язки/ прямих (6), що проходить через точку М₁(x₁,у₁)

- рівняння в’язки прямих (7’)

Але ж шукана пряма проходить через точку М₂,це означає, що її координати повинні задовольняти рівнянню в’язки, тобто:

(7”)

Поділивши (7’) на (7”), отримаємо:

- рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Кут між двома прямими

Нехай задано на площині дві прямі. Знайдемо кут між ними.

Нехай прямі і задані рівняннями і .

Позначимо через кут нахилу прямої до осі , а через кут, на який потрібно повернути пряму до співпадання з . Тоді .

Звідси і якщо прямі не є перпендикулярними, то

За умовою: і , тоді отримаємо

- кут між двома прямими (8)

2-й спосіб. Кут між двома прямими

А₁х+В₁у+С₁=0 (І)

А₂х+В₂у+С₂=0 (ІІ)

Дорівнює куту між їх нормальними векторами n₁={A₁;B₁},n₂={A₂;B₂}. Тоді

(9)

Умова паралельності та перпендикулярності прямих

Якщо прямі паралельні, то кут між ними дорівнює нулю

Таким чином: якщо прямі паралельні, то їх кутові коефіцієнти рівні між собою:

–умова паралельності прямих.

Припустимо, що прямі перпендикулярні, тоді кут між ними дорівнює 90⁰, а не існує. В цьому випадку знаменник формули (8) дорівнює 0: , або , або

- умова перпендикулярності прямих.

Відстань від точки до прямої

Допустимо, що задана пряма, яка проходить через точку . Знайдемо відстань від точки до прямої. Візьмемо точку на цій прямій. Відстань від точки М₀ до прямої:

Питання для самоперевірки

1. Запишіть загальне рівняння прямої на площині.

2. Які різновиди загального рівняння прямої існують?

3. Яке рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом?

4. Запишіть рівняння прямої, що проходить через точку у заданному напрямку.

5. Запишіть рівняння прямої, що проходить через дві точки.

6. Запишіть умови паралельності, перпендикулярності.

7. Як знайти кут між прямими?

Тема 3. Функції. Границя змінної величини та функції

Функція, способи завдання, класифікація.

Границя змінної величини, теореми про границі.

Границя функції.

Функція, способи завдання, класифікація

В повсякденному житті ми зустрічаємося з різними змінними величинами. Найбільше нас цікавить як зв’язані ці величини між собою. Якщо зі зміною однієї змінної величини змінюється друга величина, то кажуть, що між ними існує функціональна залежність.

Нехай в області дійсних чисел задано дві множини Х і У.

Означення. Якщо кожному елементу х є Х за деяким правилом або законом ставиться у відповідність єдиний елемент у є У, то говорять, що у є функцією від х і записують:

де х – незалежна змінна (аргумент); у – залежна змінна (функція);

Знак вказує на закон відповідності, тобто вказує які дії потрібно проводити над аргументом.

Означення. Множину Х всіх значень аргументу називають областю визначення функції, або областю допустимих значень.

Означення. Множину У всіх значень функції називають областю значень функції.

Приклад. Знайти область визначення функції: у = arcsin (x+1)

- 2 £ x £ 0, х є [ - 2, 0] - область визначення.

Область значень має вигляд:

або .

1. Аналітичний спосіб завдання, функція задається однією або декількома формулами, які виражають залежність між х і у.

у= 2х+1, , х²+у² = 1,

Якщо залежність між х і у задається формулою, розв’язаною відносно у, то таку функцію називають явною: .

Якщо залежність між х і у задається за допомогою формули не розв’язаною відносно у, то функцію називають неявною: f(х,у)=0, х²+у²=1.

Якщо залежність між х і у задається двома рівняннями х=j(t), у=ψ(t), де t – параметр, то функція задана параметрично.

Приклад: - рівняння кола х² + у² = 4 у параметричному вигляді.

Аналітичний спосіб дуже зручний, поскільки формула описує функцію повністю. Взагалі апарат математичнго аналізу пристосований до вивчення аналітично заданих функцій.

2. Табличний спосіб - спосіб завдання функції за допомогою таблиці:

х	х₁	х₂	...	х_n
у	у₁	у₂	...	у_n

Недолік цього способу полягає в тім, що значення у знаходяться тільки для обмеженого числа значень х.

3. Графічний спосіб - залежність між х і у задається за допомогою графіка.

Перевага цього способу – наочність. Цей спосіб Широко використовують в техниці.

4. За допомогою функціональної шкали (логарифмічна лінійка, мікрометр та інше)

5. Словесний спосіб – функція задається словесним описом.

Приклад: .

Класифікації функцій

За виглядом функції поділяють на елементарні і неелементарні.

Основні елементарні функції.

1. Степенева функція: у=хⁿ, nR;

2. Показникова функція: у=а^х, а>0, а1.

3. Логарифмічна функція: у=log_ax, x>0, a1, a>0.

4. Тригонометричні функції: у=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx.

5. Обернені тригонометричні функції: у=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

Означення. Елементарними функціями називають функції, які отримують з основних елементарних функцій шляхом скінченого числа операцій додавання, віднімання, множення, ділення, підняття до степеня, взяття функції від функції.

Приклад.

Функції, які не відносяться до елементарних, називаються неелементарними.

Приклад:

Усі елементарні функції діляться на два великі класи функцій: алгебраїчні і трансцендентні.

Алгебраїчні функції

1. Ціла раціональна функція або многочлен: ;

2. Дробова раціональна функція

3. Ірраціональні функції

Якщо в формулі в правій частині проводяться операції додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня з раціональними нецілими показниками, то функцію f (x) називають ірраціональною.

Приклади: .

4. Функції, які не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

y=sinx, y=2^x, y=arccosx, y=x – трансцендентні.

Границя змінної величини, теореми про границі

Поняття про границю змінної величини

Поняття границі змінної величини відіграє фундаментальну роль в курсі математичного аналізу, так як з ним безпосередньо зв’язані основні поняття математичного аналізу – похідна, інтеграл та інші.

Розгляд поняття про границю розпочнемо з розгляду поняття про границю для послідовності х_n.

Розглянемо послідовність: .

Зобразимо значення змінної на числовій прямій

n = 1 x₁=-1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

Усі значення змінної х_n групуються біля числа 0. Подивимось, як змінюється різниця із зміною х_n:

, .

Видно, що із змінною х_n різниця зменшується.

Чи може ця різниця бути меншою ? Так може: ,

для всіх n>101.

Тобто: для всіх значень х_n, що знаходяться в інтервалі різниця . Чи може ця різниця бути меншою т. д. Видно, що різниця може бути меншою будь-якого наперед заданого як завгодно малого додатного числа , (e>0). В цьому випадку число 0 називають границею послідовності х_n.

Означення. Число а називається границею послідовності х_n, якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа ε існує такий номер N, що всі значення х_n у яких номер n > N, задовольняють нерівності:

Пишуть: або lim x_n = a.

Для змінної величини х це означення має вигляд.

Число а називається границею змінної величини х, якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа e існує таке значення змінної х, що всі наступні значення змінної будуть задовольняти нерівності: .

Пишуть х®а, або limx=a.

Геометрична інтерпретація границі

Нехай границя змінної величини х дорівнює а тобто limx=a. На підставі означення маємо , e>0. Скориставшись властивістю абсолютної величини дійсного числа, маємо: -e<xa<e, а-e< х <а+e.

Це означає, що якщо limx=a, то починаючи з деякого значення змінної х всі наступні значення цієї змінної потрапляють в інтервал (а-e; а+e).

Інтервал (а-e; а+e) називають епсілон околом точки а.

Довжина цього інтервалу 2e.

Нескінченно малі величини та їх властивості

Означення. Змінну величину х називають нескінченно малою (н. м. в. ), якщо її границя дорівнює 0, тобто

lim x= 0.

Якщо х – нескінченно мала величина, то її границя дорівнює 0 (lim x = 0). За означенням границі це означає, що , або .

Звідси можна дати ще одне означення нескінченно малої величини

Означення. Зминну величину х називають нескінченно малою, якщо вона починаючи з деякого значення стає і залишається по абсолютній величині меньшою від як завгодно малого додатнього числа e .

Приклад. Розглянемо різницю між довжиною кола і периметром правильних вписаних в це коло многокутників , н.м.в.

Властивості нескінченно малих величин

1. Сума скінченого числа нескінченно малих величин є нескінченно мала.

Доведення. Нехай a – н.м.в., b – н.м.в.

Доведемо, що a+b – н.м.в. Якщо a – н.м.в., то це позначає, що Аналогічно для b,

Нехай тоді - це позначає, що a + b – нескінченно мала величина.

2. Добуток нескінченно малої величини на обмежену величину є нескінченно мала величина.

Доведення. Нехай a – н.м.в., х – обмежена величина. Покажемо, що aх – н.м.в. За умовою , а Виберемо тоді

Звідси слідує, що - це означає, що a х – н.м.в.

Наслідки

1. Добуток нескінченно малої величини на сталу величину є величина нескінченно мала.

2. Добуток двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

3. Добуток скінченого числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

Нескінченно великі величини та їх зв'язок з нескінченно малими величинами

Нескінченно малим величинам, в деякому розумінні, протиставлені нескінченно великі величини.

Означення. Змінну величину х називають нескінченно великою, якщо вона починаючи з деякого значення стає і залишається за абсолютною величиною більшою від як завгодно великого наперед заданого числа Е > 0: тобто .

Символічно пишуть х® або , якщо х>0, x®+, якщо х < 0, x®-.

Зв’язок між нескінченно малими і нескінченно великими величинами

Теорема. Якщо нескінченно мала величина a не приймає нульових значень, то оберена до неї величина є нескінченно великою.

Доведення. Покажемо, що якщо a – нескінченно мала величина, то - нескінченно велика величина. Виберемо будь-яке число За означенням нескінченно малої величини Виберемо , де М>0 і як завгодно велике, тоді . Помножимо обидві частини нерівності на , отримаємо . Звідси ясно, що М< або , це означає, що - нескінченно велика величина.

Теорема. Величина обернена до нескінченно великої є величина нескінченно мала.

Доведення. Нехай b – нескінченно велика величина. Покажемо, що нескінченно мала. Якщо b – нескінченно великі величини, то це означає, що М – досить велике число. Виберемо М=. В силу малості - досить велике. Тоді . Домножимо обидві частини останьої нерівності на маємо: або а звідси випливає, що нескінченно мала величина.

Зв’язок змінної величини з її границею і нескінченно малою величиною

Теорема. Якщо змінна величина х має границю число а, то її можна записати у вигляді суми цієї границі і н.м.в.

Тобто, якщо lim x = a, то х= а+b, де b – нескінченно мала величина.

Доведення. Згідно означення границі маємо:

- нескінченно мала величина, тобто х–а=b, значить х=.

Теорема. Якщо змінна величина дорівнює сумі деякого числа а і нескінченно малої величини, то її границею буде це число. Тобто якщо х=а+b, то limx=a.

Доведення. За умовою х=а+b, тоді .

Основні теореми про границю

Теорема 1. Якщо змінна величина має границю, то вона єдина.

Доведення. Допустимо, що границя не єдина. Тобто змінна величина х має дві границі а і в. Тобто lim x=a і lim x=в. З того, що lim x=a х =а+. З того, що . З рівності лівих частин слідує, що рівні і праві частини останіх двох рівностей, тобто а+= в+b а–в = b-, але ж а–в- стала величина, а b- - змінна нескінченно мала. А змінна величина не може бути рівною сталій величині. Значить наше припущення невірне !

Теорема 2. Якщо змінна величина х має границю, то вона обмежена величина.

Доведення. За умовою , де - н.м.в.

- число, оскільки .

Нехай тоді маємо: - це означає що х – обмежена.

Теорема 3. Границя суми скінченного числа змінних величин, кожна із яких має границю, дорівнює сумі границь цих величин:

Довести самостійно.

Теорема 4. Границя добутку скінченного числа змінних величин, кожна із яких має границю, дорівнює добутку границь цих величин:

Довести самостійно.

Теорема 5. Границя частки двох змінних величин, кожна із яких має границю, дорівнює частці границь цих величин, якщо границя величини, що знаходиться в знаменнику відмінна від нуля

Наслідки.

1. Сталий множник можна виносити за знак границі

2. Якщо n – ціле додатнє число, то

Приклади:

а) б) ;

в)

Ознаки існування границі

В богатьох питаннях математичного аналізу необхідно тільки вказати, чи має чи не має змінна величина границю. Числове значення цієї границі досить часто має другорядне значення.

Розглянемо дві ознаки існування границі змінної величини.

Ознака 1. Будь яка монотонно зростаюча або спадаюча і обмежена в напрямку своєї зміни змінна величина має границю.

Приклад.

де х_n – обмежена зростаюча величина. Вона має границю.

Ознака 2. Якщо числові значення змінної величини z постійно містяться між відповідними значеннями змінних х і у, як прямують до однієї і тої ж границі а, то змінна z прямує до цієї ж границі. Тобто, якщо

х£ z £y і limx=a, limy=a, то limz=a.

Доведення. Якщо limx=a, limy=a, то .

Оскільки x < z < y, то це значить, що x–a < z–a < y–a. Замінемо у–а – більшою величиною (e), а х–а - меншою величиною, тобто (–e ), тоді маємо – e < z–a < e. Звідси ясно, що .

Нехай задана змінна величина х_n, яка набуває послідовності значень

х₁, х₂, . . ., х_n, ..., x, ...

Розглянемо питання про загальну ознаку існування скінченої границі для цієї змінної. Саме означення границі для цієї цілі не підходить, оскільки в ньому фігурує вже та границя, про існування якої йде мова. Значить потрібна ознака, яка використовувала б лише те, що нам дано, а саме – задану послідовність значень змінної.

Це питання розв’язує теорема, яка належить чеському математику Больцано і французькому математику Коші. Її називають ознакою збіжності теорема Больцано-Коші.

Для того, щоб змінна величина х_n взагалі мала границю, необхідно і достатньо, щоб для кожного як завгодно малого числа e > 0, існував такий номер N, щоб нерівність виконувалась лиш тільки при n > N i n^/ > N. (Суть в тому, щоб значення змінної х_n між собою зближувалися по мірі зростання їх номерів).

Границя функції

Згадавши означення функції ми бачимо, що функція є змінною величиною. Розглянемо питання про границю функції, тобто розглянемо деякі випадки зміни функції при прямуванні аргументу х до деякої границі а або до нескінченності.

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки а або в деяких точках цього околу. Функція прямує до границі в (у® в) при х, який прямує до а (х®а), якщо для кожного як завгодно малого додатного числа e можна вказати таке число d, що для всіх х відмінних від а, які задовольняють нерівності:

має місце нерівність:

Якщо в границя функції, то пишуть в або f(x)® в при х ® а.

Односторонні границі

Якщо функція прямує до границі в₁ при х прямуючому до деякого числа а так, що х приймає тільки ті значення, які менші а, то пишуть в₁ і в₁називають границею функції f(x) в точці а зліва або лівосторонньою границею.

Якщо х приймає значення більші а, то пишуть в₂ і в₂ називають границею функції в точці а справа або правосторонньою границею.

Неважко довести, що якщо границі справа і зліва існують і рівні між собою, тобто в₁=в₂=…=в, то в і буде границею функції в сенсі означення 1.

Розглянемо випадки зміни функції при х®¥.

Означення. Функція прямує до границі в при х®¥, якщо для будь-якого малого додатнього числа e можна вказати таке число N, що для всіх значень х які задовільняють нерівність , буде виконуватися нерівність:

Приклад. Доведемо, що або

Покажемо, що для будь-якого e > 0, буде виконуватися нерівність , якщо тільки , причому N обирається вибором e:

еквівалентно

Остання нерівність буде виконуватися тоді, коли . Це означає, що

Розглянемо випадок прямування функції y= f(x) до нескінченності при деякому способі завдання аргумента.

Означення. Функція f(x) прямує до нескінченності при х®а, тобто є нескінченно великою величиною при х®а, якщо для кожного додатнього числа М, яким би великим воно не було, можна знайти таке , що для всіх х відмінних від а, які задовільняють умові , має місце нерівність:

Пишуть: , або f(x)®¥ при х®а.

Якщо f(x) прямує до нескінченності і приймає тільки додатні або тільки від’ємні значення, то відповідно пишуть:

, .

Зауваження. Функція y=f(x) при х®а або х®¥ може не прямувати до скінченної границі або до нескінченності.

Приклад. у = sin x

Ця функція при х ® ¥ не прямує ні до скінченної ні до нескінченної границі. Функція при х®0 теж не прямує до скінченної або нескінченної границі.

Питання для самоконтролю

1. Дайте поняття границі змінної величини.

2. Яка геометрична інтерпретація границі.

3. Дайте означення нескінченно малих величини

4. Назвіть властивості нескінченно малих величин.

5. Дайте означення нескінченно великих величин.

6. Який зв’язок змінної величини з її границею і нескінченно малою величиною (теореми зв’язку)?

7. Сформулюйте основні теореми про границю.

8. Назвіть ознаки існування границі.

9. Сформулюйте означення границі функції.

10. Дайте поняття односторонніх границь функції.

Тема 4. Похідна та її застосування

Правила і формули диференціювання. Похідні алгебраїчних функцій.

Поняття та умови монотонності функції. Екстремуми функції.

Необхідна і достатні умови екстремуму.

Дослідження угнутості, опуклості функції. Точки перегину

Правила і формули диференціювання

Задачі, які приводять до поняття похідної

Задача 1. Матеріальна точка рухається по прямій. Залежність пройденого шляху від часу виражається формулою S=S(t) (закон руху). Знайти миттєву швидкість точки в момент часу t₀.

Розв’язання

Нехай за час t₀ – точка пройшла шлях S₀ = S(t₀). Потрібно знайти швідкість цієї точки в точці t₀. Припустимо, що за час точка перемістилася з положення А в положення В. За цей час вона перемістилася на відстань . Тоді середню швидкість точки на шляху АВ знахрдимо за формулою: . Для знаходження миттєвої швидкості (швидкості в точці t₀) знайдемо границю цього відношення за умовою, що → 0:

таким чином, маємо:

Задача 2. Нехай ми маємо неоднорідний стержень. Кожному його відрізку довжини l буде відповідати певна маса m, тобто m= f(l). Знайти лінійну густину стержня в точці l₀.

Розв'язання

Середню густину знайдемо за формулою: . А густина в точці l₀ буде дорівнювати:

або

Задача 3. Нехай задана неперервна функція у= f(x). Знайти миттєву швидкість зміни функції в точці х₀.

Розв’язання

Виберемо значення аргументу х₀, дамо йому приросту і знайдемо приріст функції Тоді середня швидкість зміни функції у: .

Миттєва швидкість зміни

Очевидно, що ці три задачі мають багато спільного. В кожній розглядається функція, знаходження якої зводиться до спільного розв’язку - до знаходження границі відношення приросту цієї функції до прирісту аргумента.

Така границя дуже часто зустрічається при розв’язуванні багатьох задач і її назвали похідною.

Означення. Похідною функції y= f(x) в точці називається границя відношення приросту функції до прирісту аргумента за умовою, що приріст аргумента прямує до нуля:

і позначають

Операція знаходження похідної функції називається диференціюванням даної функції.

Геометричний зміст похідної

Розглянемо функцію y = f(x) і криву, що їй відповідає в системі ХОУ.

1. Виберемо на кривій точку М (х, у).

2. Дамо аргументу х приросту Δх. Новому значенню аргументу х+Δх буде відповідати “нарощене” значення функції:

і точка з новими координатами М₁(х+Δх; у+Δу).

3. Проведемо січну М₀М₁ і позначимо через j кут утворений нею з віссю ОХ:.

4. Якщо точку спрямувати по кривій до точки М₀, то січна буде намагатися зайняти дотичне положення дотичної до кривої в точці М₀.

де a - кут утворений дотичною з віссю ОХ в точці дотику М₀.

Значить . Таким чином, геометричний зміст похідної полягає в тому, що похідна функції обчислена в даній точці, дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції в даній точці.

Аналітичний зміст похідної – швидкість зміни функції в даній точці:

Загальне правило диференціювання

Нехай задано функцію y=f(x). Знайти її похідну в точці х. Поступаємо наступним чином:

1. надамо х приросту Dх. Тоді ;

2. знайдемо приріст функції ;

3. знайдемо відношення ;

4. виконаємо граничний перехід

Приклад. Знайти за загальним правилом похідну функції у = х²

1. Дамо х приросту Dх, тоді .

2. Знайдемо приріст функції Δу

3. Знайдемо віношення .

4. Знайдемо границю віношення

.Значить, .

Диференційованість і неперервність функції в точці

Означення. Якщо функція y= f(x) має в точці похідну, то вона називається диференційовною в даній точці.

Означення. Якщо функція y= f(x) має похідну в кожній точці інтервала (а, в), то вона називається диференційовною на інтервалі (а, в).

Встановими зв’язок між поняттям диференційованості і неперервності функції в точці.

Теорема. Якщо функція диференційована в даній точці, то вона неперервна в цій точці.

Доведення. Оскільки функція диференційована в точці х₀, то .

На основі теореми зв’язку між границею і нескінченно малою величиною маємо:

де a - нескінченно мала величина.

Тоді: очевидно, що - нескінченно мала оскільки - нескінченно мала величина. Значить - нескінченно мала величина. А це означає, що - звідси, на основі означення неперервності функції, робимо висновок, що функція неперервна в точці х₀.

Обернене твердження (якщо функція неперервна, то вона диференційована) не завжди вірне.

Приклад 1. Розглянемо функцію - вона неперервна. Знайдемо її похідну в точці х = 0.

1. Дамо х приросту Dх, тоді , оскільки х = 0;

2. Знайдемо Dу: Dу =

3. Знайдемо ;

Очевидно, що похідна цієї функції в точці х = 0 не існує.

Приклад 2. Розглянемо неперервну функцію у = . Знайдемо її похідну в точці х = 0.

1. Дамо х приросту Dх, х+Dх = 0+Dх = Dх;

2. Знайдемо Dу з рівності Dу = ;

3. Знайдемо границю відношення:

Звідси ясно, що дана границя в точці х = 0 залежить від знаку Dх, тобто не має похідної в цій точці.

Диференціювання суми, добутку, частки

а) Похідні деяких функцій:

1. Похідна сталої величини дорівнює нулю: (с)^/ = 0, с = соnst.

2. Похідна аргументу х дорівнює 1: (х)^/ = 1.

3. Похідна алгебраїчної суми диференційованих функцій дорівнює суми їх похідних: де u = u(x); v = v(x)

Доведення. Нехай задано дві неперервні функції u = u(x) і v = v(x).

Нехай у = u + v, тоді

1. надамо х прирісту Dх, тоді функції u i v також отримають приріст відповідно D u, Dv, Dу.

2. ;

4. , тобто .

5. Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків похідної першого співмножника на другий і першого співмножника на похідну другого співмножника:

Доведення: Нехай у = uv, тоді

(v i u від Dх не залежать), ( в силу диференційованості функції u)

.Таким чином, маємо: .

Аналогічно можна довести, що похідна функції обчислюється за формулою: .

6. Похідна дробу (тобто частки від ділення двох функцій) дорівнює дробу, в якого знаменник являється квадратом знаменника данного дробу, а чисельник є різниця між добутком знаменника на похідну чисельника і добутком чисельника на похідну знаменника, тобто якщо , то

Доведення. Якщо - прирости функції y, u, v, що відповідають приросту

Dх аргументу х, то

Звідси маємо (враховуючи, що при .

Похідні алгебраїчних функцій

Похідна складеної і логарифмічної функцій

Нехай задана функція або , де , х – основний аргумент, v – проміжний аргумент. Функції і - диференційовані в точці х. Знайдемо похідну функції за проміжном аргументом v, тобто

Знайдемо похідну функції y за основним аргументом х: ;

Тоді .

Якщо Dх ® 0, то Dv ® 0 в силу диференційованості функції та її неперервності: . Таким чином, маємо:

Похідна складеної функції дорівнює добутку похідної функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргумента за основним.

Похідна логарифмічної функції

Нехай задана логарифмічна функція . Знайдемо маємо Dу – приріст функції, що відповідає приросту Dх аргументу х:

Тоді: (

Тобто, .

Якщо у = lnv, де v = v(x), то

Похідна степеневої, показникової, степенево-показникової функцій. Логарифмічне дифференціювання.

Припустимо, що задана степенева функція , .

Знайдемо похідну цієї функції. Застосуємо метод логарифмічного диференціювання суть якого полягає в наступному. Прологарифмуємо обидві частини виразу , і знайдемо похідну правої і лівої частин:

Приклад:

Знайдемо похідну показникової функції: де

Аналогічно:

Приклад: Знайти похідні функцій:

а) у = 5х⁷; б) ;

в) г)

д) е)

Розв’язання.

а) у^/=35х; б)

в); г)

д) е)

Розглянемо степенево-показникову функцію: , де .

Знайдемо її похідну:

Таким чином ми бачимо, що

Приклад: знайти похідну функції .

Поняття та умови монотонності функції. Екстремуми функції

Необхідні й достатні ознаки зростання (спадання ) функції

1) Якщо функція , що має похідну на відрізку , зростає на цьому відрізку, то її похідна на відрізку невід’ємна, тобто .

2) Якщо функція неперервна на відрізку і диференційована в проміжку , при цьому для , то ця функція зростає на відрізку .

Доведення

Доведемо спочатку першу частину теореми.

Нехай зростає на відрізку . Надамо приросту і розглянемо відношення .

Оскільки функція зростаюча, то при ,

і при .

В обох випадках .

А отже, , тобто , що і потрібно було довести.

Доведемо другу частину теореми.

Нехай при всіх . Розглянемо і . і при цьому .

За теоремою Лагранжа, , де .

За умовою , отже, або , тобто функція – зростаюча.

Аналогічна теорема має місце і для спадної (диференційованої) функції.

Теорема. Якщо спадна на відрізку , то . Якщо в проміжку , то спадає на відрізку .

Зауваження. Розглянуті теореми виражають наступний геометричний зміст.

Якщо на проміжку зростає, то дотична до кривої в кожній точці на цьому відрізку утворює з віссю гострий кут або в окремих точках горизонтальна .

Якщо на проміжку спадає, то кут нахилу дотичної з додатним напрямком осі тупий (або в окремих точках дотична горизонтальна): .

Екстремуми функції

Означення максимуму (max)

Функція в точці має максимум, якщо значення функції в точці більше ніж її значення в усіх точках деякого інтервалу, що містить .

Функція має при , якщо при любих достатньо малих по абсолютній величині.

Означення мінімуму (min)

Функція має при , якщо при любих як додатних, так і від’ємних достатньо малих за абсолютною величиною.

Слід зазначити наступне:

а) Функція може досягати або тільки в точках у середині відрізку.

б) і не можна змішувати з найбільшим і найменшим значеннями.

Максимуми і мінімуми функції називають екстремумами (Extremum – крайній)

Теорема Ферма. Необхідна умова існування екстремуму функції

Теорема Ферма (необхідна умова існування екстремуму)

Якщо диференційована функція має в точці або , то її похідна обертається в нуль в цій точці, тобто .

Доведення

Припустимо, що в точці функція має . Тоді згідно означення мінімуму , тобто.

В цьому випадку знак відношення визначається знаком , а саме , якщо і , якщо .

Згідно означення похідної .

Якщо має похідну при , то при цьому границя не залежить від прямування (додатне або від’ємне), але із доведеного прямує, що і відповідно при і . Оскільки є визначне число, то рівняння можливе лише при .

Доведення для максимуму наведене у підручнику Піскунова Н.С.

По доведеній теоремі можна замітити, що якщо в точках і функція має похідну, то дотична до кривої паралельна осі .

Необхідна умова існуванню екстремуму, ще не є достатньою, тобто якщо функція має похідну, то вона може мати екстремум тільки при тих значеннях де .

Обернене невірно, тобто не при всякім значенні, при якім похідна обертається в нуль, обов’язково існує екстремум (приклад дивись по підручнику Піскунова Н.С.). Функція може мати екстремум лише в двох випадках, або в точках де похідна існує і дорівнює нулю, або в тих точках де похідна не існує.

Якщо похідна не існує в будь якій точці, вона зазнає розриву.

Значення аргументу, при яких похідна обертається в нуль, або зазнає розриву називається критичними точками, або критичними значеннями.

Дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної. Перша достатня ознака існування екстремуму

Теорема (Перша достатня умова існування екстремум)

Нехай неперервна функція в деякім інтервалі містить точку і диференційована у всіх точках цього інтервалу.

Якщо при переході зліва направо через цю точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то при функція має максимум.

Якщо при переході через точку зліва направо похідна змінює знак з мінуса на плюс, то функція має в цій точці мінімум.

Доведення.

Припустимо, що похідна змінює знак з плюса на мінус, тобто при і при .

Застосувавши теорему Лагранжа до різниці матимемо де .

1) Нехай , тоді , , тоді , і отже або . Отже в точці функція має максимум.

Аналогічно доводиться друга частина теореми.

Перше робоче правило дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної:

1. Відшукуємо першу похідну .

2. Знаходимо критичні значення аргументу , для цього:

а) прирівняємо першу похідну до нуля і знаходимо дійсні корені рівняння ;

б) Знаходимо значення , при яких похідна зазнає розриву.

3. Досліджуємо знак похідної зліва і справа від критичної точки.

4. Обчислюємо значення функції при кожнім критичнім значенні аргументу.

Приклад. Дослідити функцію на екстремум.

Розв’язання.

а)

1) ОДЗ : х є R

4) у_мах = у(0) = 1; у_міп = у(1) = -2

Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної. Друга достатня ознака існування екстремуму.

Нехай при похідна обертається в нуль тобто .

існує і неперервна в деякому околі точки .

Теорема (Друга достатня ознака існування екстремуму)

Нехай , тоді при , функція має максимум, якщо і мінімум, якщо .

Доведення

Доведемо першу частину теореми. Нехай і .

Оскільки неперервна в деякому околі точки , то знайдеться малий відрізок околу точки , у всіх точках якого .

Оскільки , то за умовою .

Отже –від’ємна на відрізку, що містить точку . Але , отже на цім відрізку при маємо . А оскільки , то при . Маємо , а оскільки , то .

Оскільки похідна при переході через точку змінює знак з плюса на мінус, випливає, що в точці – має максимум.

Аналогічно доводиться друга частина теореми (довести самостійно), або подивитися по підручнику Піскунова Н.С.

Друге робоче правило дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної:

1. Знаходимо першу похідну .

2. Знаходимо усі критичні точки за умовою:

а) ;

б) – зазнає розриву.

3. Знаходимо другу похідну .

4. В другу похідну послідовно підставляємо критичні значення аргументу.

Якщо при цьому друга похідна буде від’ємна, то при відповіднім значенні аргументу функція має максимуму.

Якщо при підстановці критичного значення друга похідна додатна, то функція має мінімум.

5. Обчислюємо значення при кожному конкретному значенні аргументу.

Зауваження.

Якщо при данім критичнім значенні аргументу , або , то дослідження функції ведеться по першому робочому правилу.

Дослідити функцію на екстремум за другим правилом

а)

1) ОДЗ : х є R

2) - критичні точки;

3) - точка максимуму;

- точка мінімуму.

б)

1) ОДЗ : х є R

2) - критична точка;

- точка мінімуму;

Найбільше та найменше значення функції на відрізку

Найбільше (найменше) значення неперервної функції на відрізку досягається або в критичних точках функції, або на кінцях інтервалу.

Для визначення найбільшого (найменшого) значення функції відрізку треба:

а) Обчислити значення функції у всіх критичних точках відрізку ;

б) обчислити значення і функції на кінцях відрізку;

в) визначити найбільше (найменше) з обчислених чисел.

Якщо функція задана і неперервна в деякому проміжку і якщо цей проміжок не є відрізком, то серед значень функції , може не бути ні найбільшого ні найменшого.

Приклад. Знайти найбільшого (найменшого) значення функції на відрізку [1;e] ;

Похідна не дорівнює нулю усередині заданого відрізку [1;e] критичних точок усередині не має. Залишається обчислити значення функції на кінцях відрізку: ;

Тобто, є найменше значення функції;

- найбільше значення функції.

Дослідження угнутості, опуклості функції. Точки перегину

Крива у = f (х) иазиваеться опуклою на інтервалі, якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать нижче довільної її дотичної на цьому інтервалі.

Крива y = f (x) називаеться вгнутою на інтервалі, якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать вище довільної її дотичної на цьому інтервалі.

Точкою перегину називається така точка кривої, яка відділяє ту опуклу частину від угнутої.

На рис 1 крива у=f(х) опукла на інтервалі (а; b), вгнута на iнтервалі (b; с) і точка

В (b; f (b )) — точка перегину.

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3

Зрозуміло, що в точці перегину дотична перетинає криву, оскільки з одного боку околу цієї точки графік кривої знаходиться під дотичною, а з другого — над дотичною.

Позначимо довільну ординату кривої через у, а дотичної — через Y. Нехай М (х₀;y₀) — точка дотику, х₀ (а; b). Тоді означення опуклості i вгнутості можна записати так: крива у = f (х) опукла (рис.2) на (а;b), якщо x(a;b),

крива у=f (х) вгнута (рис.3) на (а; b), якщо x(a;b),

Інтервали опуклості i вгнутості знаходять за допомогою такої теореми.

Теорема. Нехай функція у = f (x] є двічі диференціовною на (а; b), moдi:

1) якщо f" (x) < 0, x(a;b), то крива у==f(х) опукла на (а; b);

2) якщо f" (x) > 0, x(a;b), то крива у==f(х) вгнута на (а; b);

Точки, в яких друга похідна f" (x) дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками другого роду функції f (х). Отже, якщо x₀ — абсциса точки перегину функції f (х), то х₀ є критичною точкою другого роду цієї функції. Обернене твердження неправильне.

Приклади

1. Функція f (х) = x⁴має другу похідну f" (х) =2х², яка дорівнює нулю при х = 0. Але критична точка, х = 0 не є абсцисою точки перегибу даної кривої.

2. Функція f (х) = х³ має критичну точку х = 0, яка є абсцисою точки перегину.

Встановимо достатні умови існування точки перегину.

Теорема 2. Нехай x₀- критична точка другого роду функції f(x). Якщо при переході через точку х₀ похідна f"(х) змінює знак, то точка (х₀; f (х₀)) є точкою перегину кривої f(х).

Нехай, наприклад, існує -окіл точки х₀, такий, що

x(): f" (x) < 0; x(): f" (x) > 0;

Тоді за теоремою і крива у = f (х) опукла на інтервалі і вгнута на інтервалі , тобто точка (х₀; f (х₀))- точка пєрегину.

Якщо похідна f" (x) не змінює знак в -околі точки х₀, то крива буде в цьому околі або опуклою (при f (х) <0), або вгнутою (при f (х) >0).

Отже, щоб знайти точки перегину кривої, треба знайти критичні точки другого роду і дослідити зміну знака другої похідної при переході через ці точки.

Приклади для самостійного розв’язання

1. Знайти локальні екстремуми функції:

а) б)

Відповідь: а) б)

2. Знайти найменше та найбільше значення функції на заданих відрізках:

а) .

Відповідь: - найбільше значення, найменше значення

б) .

Відповідь: - найбільше; найменше значення

в)

Відповідь: - найбільше значення; найменше значення

Питання і завдання для самоконтролю

1. Дайте означення похідної функції в точці.

2. Сформулюйте механічний і геометричний зміст похідної функції в точці.

3. Дайте означення функції, диференційовної в даній точці, на інтервалі.

4. Який зв'язок диференційованості та неперервності функції в точці?

5. Виведіть формули диференціювання суми, добутку, частки функцій.

6. Сформулюйте правило диференціювання степенної, показникової і степенево-показникової функуцій

7. Як отримують формули похідних складеної і логарифмічної функцій?

8. Сформулюйте правило логарифмічного диференціювання.

9. Сформулювати і довести достатні умови строгої монотонності функції на інтервалі.

10. Які точки називають критичними?

11. Навести приклад функції, у якої критична точка не відділяє інтервали монотонності, тобто належить інтервалу монотонності.

12. У чому полягає правило знаходження інтервалів монотонності?

13. Знайти інтервали монотонності функції:

14. а) б)

15. Відповідь: а) (-∞;0) – функція спадає; б) (0;+∞) – функція зростає.

16. Що називається точкою локального мінімуму та локальним мінімумом функції?

17. Що називається локальним екстремумом і чим він відрізняється від абсолютного екстремуму?

18. Сформулювати і довести необхідні умови локального екстремуму .

19. Сформулювати першу і другу достатні умови існування екстремуму.

20. У чому полягають правила знаходження екстремуму за першою та другою достатніми умовами?

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. В.Д. Гетманцев Лінійна алгебра та лінійне програмуваня:Либідь, 2001, 256с

2. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2001. – 648с.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник / Е.С. Вентцель. – 5-е изд., стер. – М.: Кнорус, 2010. – 576 с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для втузов / В.Е. Гмурман – 9-е изд. стер- М. Высш. школа, 2003 - 479 с

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. Учебн. пособие для втузов / В.Е. Гмурман. – 9-е изд., стер. -М. Высш. школа, 2004. - 404 с.

6. Жлуктенко В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей і математична статистика. Навч. - метод. посібник / В.І.Жлуктенко, С.І. Наконечний. У 2 ч. - Ч. І. Теорія ймовірностей. - K.:КНЕУ, 2000. - 304 с.

7. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001. - 543 с.

8. Назарова О.П., Рубцов М.О., Іщенко О.А. та ін. Індивідуальні завдання з вищої математики: навч.посібник / О.П. Назарова, М.О.Рубцов, О.А. Іщенко. - Мелітополь: ТОВ. «Видавничий будинок. ММД», 2011.- 238 с.

9. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике: пособие / А. В. Гуревич [и др.] Минск, БГУИР, 2017. – 68 с.

Допоміжні таблиці

Основні правила знаходження похідної

Якщо С – стала і функції, що мають похідну:

Таблиця похідних основних функцій