Чисельні методи в ін ...

На практиці в більшості випадків знайти точний розв’язок математичної задачі не вдається. Це відбувається головним чином не тому, що ми не вміємо цього зробити, а оскільки шуканий розв’язок звичайно не виражається в елементарних або інших відомих функціях. Тому важливого значення набувають чисельні методи, особливо у зв'язку зі зростанням ролі математичних методів у різних галузях науки й техніки й з розвитком високопродуктивних ЕОМ.

         Під чисельними методами маються на увазі методи розв’язання задач, що зводяться до арифметичних і деяких логічних дій над числами, тобто до тих дій, які виконує ЕОМ.

         Розв’язок, отриманий чисельним методом, звичайно є наближеним, тобто має деяку похибку. Джерелами похибки наближеного розв’язку є: 1) невідповідність математичної задачі (математичної моделі) досліджуваному реальному явищу; 2) похибка даних (вхідних параметрів); 3) похибка методу розв’язання ; 4) помилки округлень в арифметичних діях над числами.

         Похибка у розв’язку, обумовлена першими двома джерелами, називається неусувною. Ця похибка може бути присутня, навіть якщо розв’язок  поставленої математичної задачі знайдено точно.

         Зупинимося більш докладно на третьому джерелі. Чисельні методи в більшості випадків самі по собі є наближеними, тобто навіть при відсутності помилок у вхідних даних і при ідеальному виконанні арифметичних дій вони дають розв’язок вихідної задачі  з деякою похибкою, названою похибкою методу. Це відбувається тому, що чисельним методом звичайно розв’язується деяка інша, більш проста задача, що апроксимує (наближає) вихідну задачу. У ряді випадків використовуваний чисельний метод будується на базі нескінченного процесу, що границею має шуканий розв’язок. Проте реально граничний перехід звичайно не вдається здійснити, і процес, перерваний на певному кроці, дає наближене значення.