1.2 Основні властивості визначників
Сформульовані нижче властивості залишаються вірними для визначників будь-якого порядку. Перш, ніж перейти до формулювання властивостей, дамо означення однієї важливої операції з визначниками, яка також широко використовується в матричному численні. Транспонуванням визначника (або матриці) називається заміна його рядків відповідними стовпцями. При транспонуванні визначник начебто відбивається відносно головної діагоналі.
.
|
Властивості визначників.
1. Величина визначника не змінюється при транспонуванні.
Таким чином, у визначнику можна змінювати місцями рядки із стовпцями, а це, зокркма, означає, що у визначнику рядки і стовпці рівноправні: всі властивості, що відносяться до стовпців, вірні також для рядків, і навпаки.
|
2. Якщо у визначнику поміняти місціми два рядки (або стовпця), то визначник змінює знак, зберігаючи абсолютну величину.
|
3. Спільний множник рядка або стовпця можна винести за знак визначника.
|
4. Визначник, що має дві рівних або пропорційних рядка, дорівнює нулю.
|
5. Якщо визначник містить рядок (стовпець) з нулів, то він дорівнює нулю.
|
6. Якщо до елементів рядка (стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне і те ж число, визначник не змінить свого значення.
|
Використання властивостей.
Наведемо приклади, що показують, як можна використовувати властивості визначників при їх обчисленні.
1. Винесення спільного множника часто спрощую процес обчислення визначника.
![{\;\;\left|\begin{array}{cc} 24& 48\\25 &75 \end{array}\right|\;=\;24 \cdot 25 \cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1&3 \end{array}\right|\;=\;24 \cdot 25 \cdot (3-2)\;=\;600} {\;\;\left|\begin{array}{cc} 24& 48\\25 &75 \end{array}\right|\;=\;24 \cdot 25 \cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1&3 \end{array}\right|\;=\;24 \cdot 25 \cdot (3-2)\;=\;600}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/56dafd93992e2695dedcc8b4b8a4e0e5.gif) З першого рядка винесений множник 24, а з другого - 25.
2.
Перший і третій стовпчики визначника пропорційні, отже, за властивістю 4, цей визначник дорвнює нулю.
3. Втім, найчастіше використовується властивість 6.
Додамо другий рядок до першого:
Тепер домножимо елементи другого рядка на 2 і віднімемо від третього рядка:
Якщо тепер розкривати визначник за правилом трикутників, то серед трійок множників ненульовими залишаються тільки дві:
![{\;=\;\left|\begin{array}{rrr}5&0&1\\2&1&-4\\ -3&0&11 \end{array}\right|=\;5\cdot 1\cdot 11 - 1\cdot 1\cdot (-3)=55+3=58} {\;=\;\left|\begin{array}{rrr}5&0&1\\2&1&-4\\ -3&0&11 \end{array}\right|=\;5\cdot 1\cdot 11 - 1\cdot 1\cdot (-3)=55+3=58}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/fccf9fce7cbf4da697aa8e72b3aec49b.gif)
|
Остання зміна: Wednesday 31 August 2016 20:52 PM