1.4. Мінор та алгебраїчне доповнення

Перейдемо до розгляду визначника довільного порядку {n}, що відповідає квадратній матриці розміру {n \times n}.
Такий визначник має вигляд

{\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{array}\right|}.

Розглянемо його властивості, методи обчислення і можливості використання.

Мінор та алгебраїчне доповнення.

Означення.
Мінором {M_{ij}} елементу {a_{ij}} визначника {n}-го порядка называется визначник {(n-1)}-го порядку, одержаний з даного визначника викресленням {i}-го рядка і {j}-го стовпця.

Наприклад, для визначника

{\;\left|\begin{array}{rrr}5&0&1\\2&1&-4\\ -3&0&11 \end{array}\right|}

мінором елементу {a_{23}} = -4, розташованого в третьому стовпці другого рядка буде визначник

{M_{23}\;=\;\left|\begin{array}{rr}5&0\\ -3&0 \end{array}\right|}

який, як не важко бачити, виявляється дорівнюючим нулю.


Означення.
Алгебраїчним доповненням {A_{ij}} елементу {a_{ij}} визначника {n}-го порядку називається мінор цього елементу, взятий зі знаком {(-1)^{i+j}}, що визначається рядком і стовпцем, на перетині яких розташований цей елемент.
{A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}.

Іншими словами, алгебраїчне доповнення елементу співпадає з мінором цього елементу, якщо сума номерів рядка і стовпця елемента парна, і має знак, протилежний мінору, якщо ця сума непарна.

Наприклад, алгебраїчне доповнення {A_{21}} элементу {a_{21}}= 2 визначника

{\;\;\left|\begin{array}{rrr}3&-1&5\\2&1&-4\\ 1&2&3 \end{array}\right|}

буде дорівнювати

{{A_{21}\;=\;(-1)^{2+1}M_{21}\;=\;(-1)^3\left|\begin{array}{rr}-1&5\\ 2&3 \end{array}\right|\;=\;(-1)[(-1) \cdot 3 - 5 \cdot 2]\;=\;13.}

В наступних пунктах буде показано, як можна використовувати алгебраїчне доповнення при обчисленні визначників, а наразі наведемо разповсюджений прийом запам'ятовування визначення знаків алгебраїчних доповнень елементів, оснований на тому, що їх знаки у визначнику розтащовуються в шаховому порядку.
Так, для визначника третього порядку маємо таблицю знаків

\;\;\left|\begin{array}{ccc}+&-&+\\-&+&-\\ +&-&+ \end{array}\right|

Приклад.

Знайти алгебраїчне доповнення елемента, розташованого в четвертому стовпці третього рядка.

\;\;\left| \begin{array}{rrrr} 2& -3& 1& 5\\3 &2&2& 1\\ 1 &2& -1& 2\\ 5 &4& 3& 7 \end{array} \right|
Для обчислиення мінору зазначеного елементу {a_{34}=2}, необхідно викреслити третій рядок і четвертий стовпець заданого визначника, після чого обчислити одержаний визначник третього порядку.

{\;M_{34}=\;\left|\begin{array}{rrr}2&-3&1\\3&2&2\\ 5&4&3 \end{array}\right|=2\cdot 2\cdot 3+(-3)\cdot 2\cdot 5+1\cdot 3\cdot 4-1\cdot 2\cdot 5-(-3)\cdot 3\cdot 3-2\cdot 2\cdot 4=-5}

Щукане алгебраїчне доповнення отримується з цього мінору домноженням на \; (-1)^{3+4}=(-1)^7=-1, тобто просто заміною знаку на протилежний.
Отже, A_{34}=-M_{34}=5.

Відповідь. A_{34}=5.
Последнее изменение: Wednesday, 31 August 2016, 22:13