2.1. Лінійні операції над матрицями.

Означення, пов'язані з матрицею..

Як уже зазначалось вище, прямокутна таблиця чисел \normalsize{A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn} \end{array}\right)} називається матрицею.
Числа \normalsize{a_{ij}} називаються елементами матриці, причому i-номер рядка, а j-номер стовпця, на перетині яких міститься цей елемент.
Кажуть, що матриця має розмір \normalsize{m \times n}, якщо вона складається з \normalsize{m} рядків і \normalsize{n} стовпців.
Для запису матриць використовується ще позначення A=(a_{ij}),\,i=1...m,\, j=1...n.
Якщо \normalsize{m = n}, матриця називається квадратною. Визначник квадратної матриці А позначається |A| або det(A).
В загальному випадку матриця називається прямокутною. Зокрема, якщо матриця складається лише з одного стовпця, вона называється матрицею-стовпцем, або вектор-стовпцем, якщо ж матриця складається тільки з одного рядка, то це матриця-рядок, або вектор-рядок.
Матриця, транспонованна до данної матриці A позначається A^T.
Нульовою називається матриця, всі елементи якої є нулями.
Дві матриці A, B називаються рівними A=B, якщо вони мають однаковий розмір і співпадачі всі відповідні елементи a_{ij}=b_{ij}.
Робота з матрицями передбачає виконання з ними певних математичних операцій. В математиці до лінійних операцій відносять додавання та множення на число.

Додавання матриць..

Нехай маємо дві матриці A і B однакового розміру \normalsize{m \times n}: A=(a_{ij}),\,i=1...m,\, j=1...n. i B=(b_{ij}),\,i=1...m,\, j=1...n.
Сумою цих матриць називається матриця C=A+B того ж розміру, елементи якої є сумами відповідних елементів матриць, що додаються:  c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\,i=1...m,\, j=1...n. .
Наприклад,

\normalsize{\left(\begin{array}{rrrr}3&4&1&2\\0&3&1&-1\\ 4&3&-2&0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&3&1\\1&2&-3&0\\ 0&2&3&4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrrr}5&3&4&3\\1&5&-2&-1\\ 4&5&1&4 \end{array}\right)}

Множення матриці на число. Лінійна комбінація..

Результатом множення матриці A на число \lambda є матриця B=\lambda A, отримана множенням кожного елемента матриці A на число \lambda.
Наприклад,

\normalsize{3 \cdot\left(\begin{array}{rr}2&-1\\1&4\\ -2&3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}6&-3\\3&12\\ -6&9\end{array}\right)}
Лінійною комбінацією називається вираз,що містить тільки лінійні операції. Так, лінійна комбінація матриць є сума кікох матриць з коефіцієнтами, наприклад, 2A-4B+C. Замітимо, що всі матриціы, що входять до лінійної комбінації, повинні мати один і той же розмір. Так, якщо


\normalsize{A=\left(\begin{array}{rr}2&1\\0&3 \end{array}\right)}, \normalsize{B=\left(\begin{array}{rr}1&0\\2&1\end{array}\right)}, а \normalsize{C=\left(\begin{array}{rr}3&2\\1&4\end{array}\right)}
то
\normalsize{2A-4B+C=\left(\begin{array}{rr}3&4\\-7&6 \end{array}\right)}

Остання зміна: Sunday 4 September 2016 22:20 PM