3.3. Метод Гаусса.

Метод Гаусса.

Метод Гаусса - найбільш універсальний з методов, що нами розглядаються, оскільки дозволяє розв'язувати невизначені системи, зокрема, системи у яких кількість рівнянь відрізняється від числа невідомих.

Нехай задана система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими \normalsize{x_1,\,x_2\,\dots x_n}:

\normalsize{\;\;\left \{ \begin{array}{rcl}a_{11}x_1\,+\,a_{12}x_2\,+\dots+\,a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1\,+\,a_{22}x_2\,+\dots+\,a_{2n}x_n&=&b_2\\ \dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots& \dots &\; \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n&=&b_m \end{array}\right.}
Для заданої системи випишемо розширенну матрицю
\normalsize{B=\left(\begin{array}{cccccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}& |&b_1\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}& |&b_2\\ \dots& \dots&\dots&\dots& |&\dots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}& |&b_m \end{array}\right)}размером m \times n+1

Перетворення цієї матриці за певним алгоритмом, що пов'язаний з ім'ям Гаусса, і дозволить знайти розв'язок системи.
До елементарних перетворень матриць при використанні метода Гаусса віднесемо такі:
  • переміна місцями двох рядків;
  • множення або ділення рядка на ненулеве число;
  • додавання (віднімання) до елементів будь-якого рядка відповідних елементів іншого рядка, помножених на одне і те ж число;
  • викреслювання рядка з нулів.

Сутність метода Гаусса полягає в оториманні нижче головної діагоналі нулів за допомогою елементарних перетворень (прямий хід) та наступним послідовним обчисленні значень невідомих (обернений хід).

Зауважимо, що у випадку прямокутної матриці, а, як правило, саме до прямокутних матриць призводить метод Гаусса, під "головною діагоналлю" ми розуміємо сукупність діагональних елементів, тобто елементів a_{11},a_{22},...,a_{ii},....

В результаті перетворень ми можемо отримати одну з трьох принципово різних матриць.

1.
\normalsize{\left(\begin{array}{cccccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}& |&b_1\\0&a_{22}&\dots&a_{2n}& |&b_2\\ \dots& \dots&\dots&\dots& |&\dots\\ 0&0&\dots&a_{nn}& |&b_n \end{array}\right)}
- система сумісна и визначена, тобто має єдиний розв'язок, яке знаходиться послідовним, знизу до верху, обчисленням невідомих.

2.
\normalsize{\left(\begin{array}{ccccccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1\,n-1}&a_{1n}& |&b_1\\0&a_{22}&\dots&a_{2\,n-1}&a_{2n}& |&b_2\\ \dots& \dots&\dots&\dots&\dots& |&\dots\\ 0&0&\dots&a_{m\,n-1}&a_{mn}& |&b_m \end{array}\right)}
- система сумістна, але невизначена, тобто має безліч розв'язків, які знаходяться шляхом вибору кількох невідомих в якості параметрів і вираження через них решти невідомих.

3.
\normalsize{\left(\begin{array}{ccccccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1\,n-1}&a_{1n}& |&b_1\\0&a_{22}&\dots&a_{2\,n-1}&a_{2n}& |&b_2\\ \dots& \dots&\dots&\dots&\dots& |&\dots\\ 0&0&\dots&0&0& |&b_m \end{array}\right)}
- система несумісна , тобто не має розв'язків взагалі.


Пример. Приклад.

Решить систему Розв'язати систему

\normalsize{\;\;\left \{ \begin{array}{rcl}3x_1+4x_2+2x_3&=&11\\x_1-6x_2-x_3&=&-15\\ x_1+x_2+3x_3&=&-2 \end{array}\right.}

Решение. Розв'язання.
Расширенная матрица заданной системы имеет вид Розширенна матриця заданої системи має вигляд
\normalsize{\left(\begin{array}{rrrcr}3&4&2&|&11\\1&-6&-1&|&-15 \\1&1&3&|&-2 \end{array}\right)} \Large\sim
На первом этапе необходимо получить нули в первом столбце, кроме первой стороки. Именно первая строка выступает рабочей на этом этапе, поэтому удобно, чтобы её первым элементом была единица. Чтобы получить единицу в первой строке, поменяем местами первую и третью строки.
Имеем: На першому етапі необхідно отримати нулі в першому стовпці, окрім першого рядка. Саме перший рядок і виступає робочим на цьому етапі, тому зручно, щоб його першим елементом була одиниця. З метою отримання одиниці в першому рядку поміняємо місцями перший і третій рядки.
Маємо:
\Large \sim \normalsize{\left(\begin{array}{rrrcr}1&1&3&|&-2\\1&-6&-1&|&-15 \\3&4&2&|&11 \end{array}\right)}\Large \sim
Чтобы получить ноль в первом столбце второй строки, вычтем поэлементно из второй строки первую. Затем, чтобы получить ноль в третьей строке, умножим элементы первой строки на 3 и вычтем из третьей строки.
Получим Щоб отримати нуль в першому стовпці другого рядка, віднімемо поелементно від другого рядка перший. Потім, щоб отримати нуль в третьому рядку, помножимо елементи першого рядка на 3 і віднімемо від третього рядка.
Отримаємо
\Large\sim \normalsize{\left(\begin{array}{rrrcr}1&1&3&|&-2\\0&-7&-4&|&-13 \\0&1&-7&|&17 \end{array}\right)} \Large\sim
На следующем этапе рабочей строкой будет вторая. Именно ее нужно будет умножать и вычитать из третьей. Поэтому желательно иметь единицу в ее втором столбце. Для этого достаточно поменять местами вторую и третью строки.
Кроме того, строка, ставшая третьей, состоит только из отрицательных чисел, а многим удобнее иметь дело с положительными значениями. Чтобы сделать матрицу красивее, достаточно умножить эту строку на -1, что мы и делаем.
На наступному етапі робочим рядком буде другий. Саме його потрібно буде множити і віднімати від третього. Тому бажано мати одиницю в його другому стовпці. Для цього достатньо поміняти місцями другий і третій рядки.
Крім того, рядок, що став третім, складається тільки з від'ємних чисел, а багатьом зручніше мати справу з додатніми значеннями. Щоб зробити матрицю красивішою, достатньо помножити цей рядок на -1, що ми і робимо.

\Large \sim \normalsize{\left(\begin{array}{rrrcr}1&1&3&|&-2\\0&1&-7&|&17 \\0&-7&-4&|&-13 \end{array}\right)}\Large \sim \normalsize{\left(\begin{array}{rrrcr}1&1&3&|&-2\\0&1&-7&|&17 \\0&7&4&|&13 \end{array}\right)}\Large \sim
Наконец, умножив элементы второй строки на 7 и вычитая из третьей строки, получим матрицу, имеющую нули ниже главной диагонали. Нарешті, помноживши елементи другого рядка на 7 і віднявши від третього рядка, одержимо матрицю, що має нулі нижче головної діагоналі.
\Large \sim \normalsize{\left(\begin{array}{rrrcr}1&1&3&|&-2\\0&1&-7&|&17 \\0&0&53&|&-106 \end{array}\right)}
Запишем систему, которая соответствует полученной матрице: Запишемо систему, що відповідає одержаній матриці:

\normalsize{\;\;\left \{ \begin{array}{rcl}x_1+x_2+3x_3&=&-2\\x_2-7x_3&=&17\\ 53x_3&=&-106 \end{array}\right.}
Из последнего уравнения легко находится x_3\,=\,-2. Подставляя найденное значение во второе уравнение, получаем x_2\,=\,3. Наконец, подставив найденные значения в первое уравнение, получим x_1\,=\,1. С целью проверки найденные значения неизвестных подставляем в исходные уравнения и убеждаемся в верности найденного решения. Итак, З останнього рівняння легко знаходиться \normalsize{x_3\,=\,-2}. Підставляючи знайдене значення в друге рівняння, отримуємо x_2\,=\,3. Нарешті, подставивши знайдені значення в перше рівняння, отримаємо x_1\,=\,1. З метою перевірки знайдені значення невідомих підставляємо в задані в умові рівняння і впевнюємось в вірності знайденого розв'язку. Отже,
x_1\,=\,1,\,\,x_2\,=\,3,\,\,x_3\,=\,-2.


Остання зміна: Thursday 8 September 2016 20:47 PM