Математика: 4.3. Розкладання вектора за базисом

4.3. Розкладання вектора за базисом

Розкладання вектора за базисом

Задача векторної алгебри полягає в тому, щоб звести операції з геометричним об'єктом - вектором до алгебраїчних операцій.
Введемо прямокутну систему координат в просторі. Вона визначається заданням одиниці виміру довжин і трьох взаємно перпендикулярних вісей, що перетинаються в одній точці

$\:O\:$ :

$\:OX\:$ - вісь абсцис,

$\:OY\:$ - вісь ординат,

$\:OZ\:$ - вісь аплікат.
Введемо три вектори

$\:\overline \imath,\,\overline \jmath,\,\overline k\:$ одиничної довжини, напрямок яких співпадає з додатнім напрямком вісей. Кожний з таких векторів називається ортом, а їх трійка - базисом.
Візьмемо довільний вектор

$\:\overline a\:$ , перенесемо його початок в початок координат (в точку

$\:O$ ) і позначимо його кінцеву точку через

$\:A.\:$ Проведемо через точку

$\:A\:$ три площини, перпендикулярні координатним вісям

$\:OX,\,OY\:$ і

$\:OZ.\:$ Відстані від початку координат до точок перетину площин з вісями координат позначимо через

$\:a_x,\,a_y,\,a_z.\:$ Ці числа і є прямокутні координати точки

$\:A.\:$

/Razl_basis

Очевидно, що за правилом додавання векторів:

$\overline {OA}=\overline a=a_{ {x}}\overline \imath+a_{ {y}}\overline\jmath+a_{ {z}}\overline k, \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (1)$

або в скороченій формі:

$\overline a=(a_{ {x}},a_{ {y}},a_{ {z}}).$

Таким чином, будь-який вектор в просторі визначається заданням трьох чисел

$\:a_x,\,a_y,\,a_z,\:$ , що називаються координатами вектора

$\:\overline a,\:$ а запис (1) є розкладенням вектора

$\:\overline a\:$ за базисом

$\:\overline \imath,\,\overline \jmath,\,\overline k.\:$

Представлення (1) дозволяє легко отримати важливі формули:

для довжини вектора -

$\:{|\overline a|=\sqrt{a_{{x}}^{{2}}+a_{ {y}}^{{2}}+a_{{z}}^{{2}}}}.$

і для напрямлюючих косинусів -

$\:{\cos\alpha=\frac{a_x}{|\overline a|},\:}$

$\:{\cos\beta=\frac{a_y}{|\overline a|},\:}$

$\:{\cos\gamma=\frac{a_z}{|\overline a|}.}$

Зауваження

Якщо вектор заданий координатами початкової і кінцевої точок

$\:A(x_1,\,y_1,\,z_1),\,B(x_2,\,y_2,\,z_2),\:$ то координати вектора

$\:\overline {AB}\:$ знаходяться за формулою

$\:\overline {AB}=(x_2-x_1,\,y_2-,y_1,\,z_2-z_1).\:$

Last modified: Monday, 12 September 2016, 10:51 PM