5.3.Пряма, що проходить через дві задані точки.


Нехай на координатній площині задані дві точки M_{1} (x_{1};y_{1} ) і M_{2} (x_{2} ;y_{2} ) (див. рис.). Раніше було отримане рівняння прямої. що проходить через точку M_{1} (x_{1};y_{1} ) з кутовим коефіцієнтом k. Воно має вигляд

y-y_1=k(x-x_1). (1)

Оскільки пряма проходить і через точку M_{2} (x_{2};y_{2} ), то підставивши її координати в рівняння (1) замість x і y, отримаємо

y_2-y_1=k(x_2-x_1).

Звідки, вважаючи. що x_1\ne x_2

k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Підставляючи вираз для кутового коефіцієнта в рівняння (1), маємо

y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1),

або, вважаючи. що y_1\ne y_2

\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Одержане рівняння називають рівнянням прямої, що проходить через дві заданні точки.

2_t

рис.
Зауваження.

У випадку, коли y_1=y_2, рівняння буде мати вигляд y=y_1, тобто маємо пряму паралельну вісі OX.

Якщо x_1=x_2, рівняння буде мати вигляд x=x_1. В цьому випадку пряма паралельна вісі OY.


Приклад.

Скласти рівняння прямої, що проходить через точки M_{1} (2;-3) і M_{2} (3;5).

Розв'язання.

Подставляючи координати точок M_{1} и M_{2} в співвідношення, отримуємо потрібне рівняння прямої.

\frac{y+3}{5+3} =\frac{x-2}{3-2} ,

або

y=8x-19.
Modifié le: Wednesday 14 September 2016, 08:50