Математика: 1.4. Мінор та алгебраїчне доповнення

1.4. Мінор та алгебраїчне доповнення

Перейдемо до розгляду визначника довільного порядку ${n}$ , що відповідає квадратній матриці розміру ${n \times n}$ .
Такий визначник має вигляд

${\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{array}\right|}$ .

Розглянемо його властивості, методи обчислення і можливості використання.

Мінор та алгебраїчне доповнення.

Означення.
Мінором ${M_{ij}}$ елементу ${a_{ij}}$ визначника ${n}$ -го порядка называется визначник ${(n-1)}$ -го порядку, одержаний з даного визначника викресленням ${i}$ -го рядка і ${j}$ -го стовпця.

Наприклад, для визначника

${\;\left|\begin{array}{rrr}5&0&1\\2&1&-4\\ -3&0&11 \end{array}\right|}$

мінором елементу ${a_{23}}$ = -4, розташованого в третьому стовпці другого рядка буде визначник

${M_{23}\;=\;\left|\begin{array}{rr}5&0\\ -3&0 \end{array}\right|}$

який, як не важко бачити, виявляється дорівнюючим нулю.

Означення.
Алгебраїчним доповненням ${A_{ij}}$ елементу ${a_{ij}}$ визначника ${n}$ -го порядку називається мінор цього елементу, взятий зі знаком ${(-1)^{i+j}}$ , що визначається рядком і стовпцем, на перетині яких розташований цей елемент.
${A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$ .

Іншими словами, алгебраїчне доповнення елементу співпадає з мінором цього елементу, якщо сума номерів рядка і стовпця елемента парна, і має знак, протилежний мінору, якщо ця сума непарна.

Наприклад, алгебраїчне доповнення ${A_{21}}$ элементу ${a_{21}}$ = 2 визначника

${\;\;\left|\begin{array}{rrr}3&-1&5\\2&1&-4\\ 1&2&3 \end{array}\right|}$

буде дорівнювати

${{A_{21}\;=\;(-1)^{2+1}M_{21}\;=\;(-1)^3\left|\begin{array}{rr}-1&5\\ 2&3 \end{array}\right|\;=\;(-1)[(-1) \cdot 3 - 5 \cdot 2]\;=\;13.}$

В наступних пунктах буде показано, як можна використовувати алгебраїчне доповнення при обчисленні визначників, а наразі наведемо разповсюджений прийом запам'ятовування визначення знаків алгебраїчних доповнень елементів, оснований на тому, що їх знаки у визначнику розтащовуються в шаховому порядку.
Так, для визначника третього порядку маємо таблицю знаків

$\;\;\left|\begin{array}{ccc}+&-&+\\-&+&-\\ +&-&+ \end{array}\right|$

Приклад.

Знайти алгебраїчне доповнення елемента, розташованого в четвертому стовпці третього рядка.

$\;\;\left| \begin{array}{rrrr} 2& -3& 1& 5\\3 &2&2& 1\\ 1 &2& -1& 2\\ 5 &4& 3& 7 \end{array} \right|$
Для обчислиення мінору зазначеного елементу

${a_{34}=2}$ , необхідно викреслити третій рядок і четвертий стовпець заданого визначника, після чого обчислити одержаний визначник третього порядку.

${\;M_{34}=\;\left|\begin{array}{rrr}2&-3&1\\3&2&2\\ 5&4&3 \end{array}\right|=2\cdot 2\cdot 3+(-3)\cdot 2\cdot 5+1\cdot 3\cdot 4-1\cdot 2\cdot 5-(-3)\cdot 3\cdot 3-2\cdot 2\cdot 4=-5}$

Щукане алгебраїчне доповнення отримується з цього мінору домноженням на