1.5. Подальші властивості визначників

Почнемо з властивості, що дозволяє обчислити визначник будь-якого порядку, використовуючи введене вище поняття алгебраїчного доповнення.

Властивість 7.
Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення.
Для визначника

{\Delta\;=\;\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{array}\right|}.
маємо
\Delta\;= \;a_{i1}\cdot A_{i1}+ \;a_{i2}\cdot A_{i2}+\dots+\;a_{in}\cdot A_{in}\;= \;\sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot A_{ij}.

Наведена формула називається формулою розкладення визначника за рядком. Ця формула, в принципі, дозволяє обчислити визначник будь-якого порядку послідовним зведенням його до визначників нижчого порядку, оскільки кожне з алгебраїчених доповнень, що входять до формули, є певні визначники порядку на одиницю нижчого за даний.
Зрозуміло, що кожний з них знову можна розкласти, зводячи обчислення до ще нижчого порядку визначників, і так до тих пір, доки не прийдемо до набору визначників третього або, навіть, другого порядку, які вже можна обчислити безпосередньо. Замітимо, що такого типу формули, що дозволяють покорокове спрощення, поступове зведення до простого або очевидного, називаються рекурентними формулами.
Відмітимо ще, що аналогична формула може бути записана для розкладення за певним j-м стовпцем:
\Delta\;= \;a_{1j}\cdot A_{1j}+ \;a_{2j}\cdot A_{2j}+\dots+\;a_{nj}\cdot A_{nj}\;= \;\sum_{i=1}^n a_{ij}\cdot A_{ij}.

Втім, впадає в очі велика кількість визначників, які потрібно буде обчислювати, причому їх кількість стрімко зростає із зростанням порядку визначника. Але ця складність порівняно легко обходиться завдяки Властивості 6, що дозволяє перетворювати визначник шляхом домноження на число будь-якого рядка і додавання її до іншого рядка. Завдяки цій властивості можна в будь-якому стовпці зробити всі елементи, крім одного, дорівнюючими нулю і, при наступному розкритті визначника за цим стовпцем, отримати в сумі єдиний ненульовий додаток.
Зрозуміло, такі ж перетворення можна проводити і із стовпцями визначника.

Приклад.
Обчислити визначник.

\;\Delta\;=\;\left| \begin{array}{rrrr} 2& -3& 1& 5\\3 &2&2& 1\\ 1 &2& -1& 2\\ 5 &4& 3& 7 \end{array} \right|
Одержимо нулі в третьому стовпці, залишивши незмінною лише перший рядок. Для цього домножимо всі елементи першого, "робочого" рядка на 2 і віднімемо їх від відповідних елементів другого рядка. Далі, елементи першого ж рядка додамо до відповідних елементів третього рядка. І, нарешті, домножимо перший рядок на 3 і віднімемо з четвертого рядка. Маємо

\;\Delta\;=\;\left| \begin{array}{rrrr} 2& -3& 1& 5\\-1 &8&0& -9\\ 3 &-1& 0& 7\\ -1 &13& 0& -8 \end{array} \right|.

Використовуючи Властивість 7, розкладаючи визначник за третім стовпцем, одержимо

\Delta=\;1 \cdot A_{13}=\;(-1)^4 \cdot \left|\begin{array}{rrr}-1&8&-9 \\3&-1&7\\ -1&13&-8 \end{array}\right|

Одержимо, тепер, нулі в першому стовпці, використовуючи перший рядок, як "робочий" і обчислимо за правилом Саррюса.

\Delta=\;\left|\begin{array}{rrr}-1&8&-9 \\0&23&-20\\ 0&5&1 \end{array}\right|=\; -23-100=-123

Наступна властивість має швидще теоретичне, ніж практичне значення.

Властивість 8.
Сума добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (або, відповідно, стовпця) дорівнює нулю. Для визначника

{\Delta\;=\;\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{array}\right|}.
маємо
\;a_{i1}\cdot A_{k1}+ \;a_{i2}\cdot A_{k2}+\dots+\;a_{in}\cdot A_{kn}\;= \;\sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot A_{kj}\;=\;0,\;(k \ne i).

Іноді корисним виявляється наступна, не зовсім очевидна властивість.

Властивість 9.
Якщо два визначники відрізняються лише одним рядком (стовпцем), то їх сума дорівнює визначнику, одержаному додаванням цих рядків (стовпців) при незмінності решти елементів.

{\;\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{array}\right| +\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&b_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&b_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&b_{nn} \end{array}\right| \;=\;\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}+b_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}+b_{nn} \end{array}\right|}.
В наступному прикладі використаємо цю властивість, читаючи її зправа наліво. Представимо елементи другого стовпця у вигляді суми двох чисел і скористаємоиь тим, що визначник з двома однаковими стовпцями дорівнює нулю.

{\;\;\left|\begin{array}{cc} 2431& 2432\\3565 &3567 \end{array}\right|\;=\; \left|\begin{array}{cc} 2431& 2431+1\\3565 &3565+2 \end{array}\right|\;=\;\left|\begin{array}{cc} 2431& 2431\\3565 &3565 \end{array}\right|\;+\; \left|\begin{array}{cc}2431& 1\\ 3565&2 \end{array}\right|\;=\;0+(2431 \cdot 2- 3565)\;=\;1927}

Наступна властивість дає ще один метод обчислення визначників будь-якого порядку.

Властивість 10.
Якщо нижче головної діагоналі всі елементи визначника дорівнюють нулю, то такий визначник дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

{\Delta\;=\;\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\0&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ 0&0 &\dots&a_{nn} \end{array}\right|\;=\;a_{11}\cdot a_{22}\cdot \cdots \cdot a_{nn}}.


Приклад.
\;\Delta\;=\;\left| \begin{array}{rrrr} 1& 5& 2& -3\\2&1&3& 1\\-1 &2& 1& 2\\ 3 &7& 5& 4 \end{array} \right|.

Використовуючи Властивість 6, оберемо перший рядок, як "робочий" і одержимо нульові елементи в першому стовпці, домножуючи перший рядок на відповідні числа і віднімаючи або додаючи його до решти рядків. Маємо

\;\Delta\;=\;\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 5 & 2 & -3\\0 & -9 & -1 & 8\\0 & 7 & 3& -1\\ 0 & -8 & -1 & 13 \end{array} \right|.

Далі, маючи на меті одержання двох нулів нижче головної діагоналі в другому стовпці, будемо використовувати, як "робочий" другий рядок. При цьому, для зручності обчислень, спочатку поміняємо місцями другий і третій стовпці, змінивши, за властивістю, знак визначника.

\;\Delta\;=\;-\;\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 5 & -3\\0 & -1 & -9 & 8\\0 & 3 & 7 & -1\\ 0 & -1 & -8 & 13 \end{array} \right|\;=\;-\;\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 5 & -3\\0 & -1 & -9 & 8\\0 & 0 &-20 & 23\\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array} \right|.

Знову змінимо місцями третій і четвертий рядки і поміняємо знак визначника, після чого домножимо третій рядок на 20 і додамо до четвертого. Одержимо визначник з нулями нижче головної діагоналі, і залишилось скористатись Властивістю 10.

\;\Delta\;=\;\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 5 & -3\\0 & -1 & -9 & 8\\0 & 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 &-20 & 23 \end{array} \right|\;=\;\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 5 & -3\\0 & -1 & -9 & 8\\0 & 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 123 \end{array} \right|=1\cdot (-1)\cdot 1\cdot 123=-123.

Відповідь. \Delta=-123 .

Modifié le: Wednesday 31 August 2016, 22:14