Математика: 2.3. Обернена матриця.

2.3. Обернена матриця.

Оберенена матриця.

Поняття оберненої величини з'явиляється ще в арифметиці. $\frac{1}{3}$ - число обенене до числа 3, а числа $\frac{2}{5}$ і $\frac{5}{2}$ взаємно обернені. Визначальною властивістю обернених чисел є той факт, що їх добуток дорівнює одиниці: $3 \cdot \frac{1}{3}=1$ и $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}=1$ . Аналогічна умова покладена і в основу визначення оберненої матриці.
Нехай $A$ - квадратна матриця розміру $\normalsize{n \times n}$ , а $E$ - одинична матриця того ж розміру.

$A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{array}\right),$

$E=\left(\begin{array}{cccc}1&0&\dots&0\\0&1&\dots&0\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ 0&0&\dots&1 \end{array}\right)$ .

Означення.
Матрицею, оберненою до квадратної матриці

$A$ називається матриця

$A^{-1}$ така, що

$AA^{-1}=A^{-1}A=E$

Безпосередньо з означення випливає, по-перше, застереження, що результат множення матриці на обернену не залежить від порядку множення, тобто, при множенні квадратна матриця є перестановочною зі своєю оберненою.
По-друге, з означення ж випливає умова існування оберненої матриці, що полягає в тому, що обернену може мати лише матриця, визначник якої не дорівнює нулю. Такі матриці називаються неособливими. Дійсно, визначник добутку особливої (що має нульовий визначник) матриці на будь-яку іншу дорівнює нулю, а одинична матриця має визначник, що дорівнює одиниці.

Обчислення оберненої матриці.

Теорема.
Якщо визначник матриці $A$ не дорівнює нулю, $|A| \ne 0$ , то обернена матриця може бути обчислена за формулою

$A^{-1}=\frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\dots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\dots&A_{n2}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn} \end{array}\right),\,$ де $\normalsize{A_{ij}}$ - алгебраїчне доповнення елемента $\normalsize{a_{ij}}$ .
Увага!. Індекси в матриці з алгебраїчних доповнень стоять не так, як в даній матриці $A$ , а "транспоновано". Цей факт необхідно пам'ятати при обчисленні оберненої матриці.

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\;\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&\dots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\dots&A_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ A_{n1}&A_{n2}&\dots&A_{nn} \end{array}\right)^T=\frac{1}{|A|} \left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\dots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\dots&A_{n2}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn} \end{array}\right).$

Приклади.

1. Знайти матрицю, обернену до заданої

$\normalsize{A=\left(\begin{array}{rr}3&4\\1&5\end{array}\right)}$ .
Розв’язок.
Визначник матриці

$|A|=3\cdot 5 - 1 \cdot 4= 11 \;\ne 0$ ,не дорівнює нулю, тому обернена матриця може бути знайдена. Обчислимо алгебраїчні доповнення

$A_{11}\,=\,5,\,\,A_{12}\,=\,(-1)^{1+2}\cdot 1\,=\,-1$

$A_{21}\,=\,-4,\,\,A_{22}\,=\,3$
Запишемо обернену матрицю, помістши в рядки алгебраїчні доповнення стовпців.

$A^{-1}\;=\;\frac{1}{11}\;\left(\begin{array}{rr}5&-4\\-1&3 \end{array}\right)\,=\;\left(\begin{array}{rr}\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{11} \end{array}\right)$
Перевіримо результат, помноживши одержану матрицю на дану.

$AA^{-1}\;=\;\left(\begin{array}{rr}3&4\\1&5\end{array}\right)\;\left(\begin{array}{rr}\frac{5}{11}\,&\,-\frac{4}{11}\\-\frac{1}{11}\,&\frac{3}{11} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}3 \cdot \frac{5}{11}-4\cdot\frac{1}{11}\, &\,3 \cdot (-\frac{4}{11})+4\cdot\frac{3}{11}\\1 \cdot \frac{5}{11}-5\cdot\frac{1}{11}\, &\,1 \cdot (-\frac{4}{11})+5\cdot\frac{3}{11}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right)=E$

2. Знайти матрицю, обернену до заданої

$\normalsize{A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&1\\3&0&2\\2&1&4\end{array}\right)}$ .
Роз'язок.
Визначник матриці

$|A|=3+8-24-2=-15 \;\ne 0$ ,не дорівнює нулю.
Обчислимо алгебраїчні доповнення: спочатку для елементів першого стовпця, записуючи їх в рядок, потім другого стовпця- в другий рядок і, нарешті, третій стовпець дає третій рядок.

$A_{11}\,=\,\left|\begin{array}{rr}0&2\\1&4\end{array}\right|=-2,\;\; A_{21}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}2&1\\1&4\end{array}\right|=-7,\;\; A_{31}\,=\,\left|\begin{array}{rr}2&1\\0&2\end{array}\right|=4,\;\;$

$A_{12}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}3&2\\2&4\end{array}\right|=-8,\;\; A_{22}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}1&1\\2&4\end{array}\right|=2,\;\; A_{32}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}1&1\\3&2\end{array}\right|=1,\;\;$

$A_{13}\,=\,\left|\begin{array}{rr}3&0\\2&1\end{array}\right|=3,\;\; A_{23}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}1&2\\2&1\end{array}\right|=3,\;\; A_{33}\,=\,\left|\begin{array}{rr}1&2\\3&0\end{array}\right|=-6,\;\;$

Запишемо обернену матрицю.

$A^{-1}\;=\;-\,\frac{1}{15}\;\left(\begin{array}{rrr}-2&-7&4\\-8&2&1\\ 3&3&-6 \end{array}\right)\,=\;\left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{15}&\frac{7}{15}&-\frac{4}{15}\\ \frac{8}{15}&-\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\\ -\frac{3}{15}&-\frac{3}{15}&\frac{6}{15} \end{array}\right).$
Залишилось зробити перевірку.

$AA^{-1}\;=\;\left(\begin{array}{rrr}1&2&1\\3&0&2\\2&1&4\end{array}\right)\;\left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{15}&\frac{7}{15}&-\frac{4}{15}\\ \frac{8}{15}&-\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\\ -\frac{3}{15}&-\frac{3}{15}&\frac{6}{15} \end{array}\right)\,=\,\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right).$

Last modified: Sunday, 4 September 2016, 10:44 PM