2.3. Обернена матриця.
Оберенена матриця.
Поняття оберненої величини з'явиляється ще в арифметиці. - число обенене до числа 3, а числа і взаємно обернені. Визначальною властивістю обернених чисел є той факт, що їх добуток дорівнює одиниці: и . Аналогічна умова покладена і в основу визначення оберненої матриці. Нехай - квадратна матриця розміру , а - одинична матриця того ж розміру.
.
Означення. Матрицею, оберненою до квадратної матриці називається матриця така, що
![AA^{-1}=A^{-1}A=E AA^{-1}=A^{-1}A=E](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/2bfc5ce84aabf72adb735409140d344f.gif) Безпосередньо з означення випливає, по-перше, застереження, що результат множення матриці на обернену не залежить від порядку множення, тобто, при множенні квадратна матриця є перестановочною зі своєю оберненою. По-друге, з означення ж випливає умова існування оберненої матриці, що полягає в тому, що обернену може мати лише матриця, визначник якої не дорівнює нулю. Такі матриці називаються неособливими. Дійсно, визначник добутку особливої (що має нульовий визначник) матриці на будь-яку іншу дорівнює нулю, а одинична матриця має визначник, що дорівнює одиниці.
|
Обчислення оберненої матриці.
Приклади.
1. Знайти матрицю, обернену до заданої
. Розв’язок. Визначник матриці ,не дорівнює нулю, тому обернена матриця може бути знайдена. Обчислимо алгебраїчні доповнення
![A_{11}\,=\,5,\,\,A_{12}\,=\,(-1)^{1+2}\cdot 1\,=\,-1 A_{11}\,=\,5,\,\,A_{12}\,=\,(-1)^{1+2}\cdot 1\,=\,-1](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/c4a3806d2838cb54cfd6c6c2e2d4beba.gif) ![A_{21}\,=\,-4,\,\,A_{22}\,=\,3 A_{21}\,=\,-4,\,\,A_{22}\,=\,3](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/0a2e08361746846ab1d6b44a0346759e.gif) Запишемо обернену матрицю, помістши в рядки алгебраїчні доповнення стовпців. ![A^{-1}\;=\;\frac{1}{11}\;\left(\begin{array}{rr}5&-4\\-1&3 \end{array}\right)\,=\;\left(\begin{array}{rr}\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{11} \end{array}\right) A^{-1}\;=\;\frac{1}{11}\;\left(\begin{array}{rr}5&-4\\-1&3 \end{array}\right)\,=\;\left(\begin{array}{rr}\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{11} \end{array}\right)](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/45a069eacb09256b76f8d3c4f52894d0.gif) Перевіримо результат, помноживши одержану матрицю на дану.
2. Знайти матрицю, обернену до заданої
. Роз'язок. Визначник матриці ,не дорівнює нулю. Обчислимо алгебраїчні доповнення: спочатку для елементів першого стовпця, записуючи їх в рядок, потім другого стовпця- в другий рядок і, нарешті, третій стовпець дає третій рядок. ![A_{11}\,=\,\left|\begin{array}{rr}0&2\\1&4\end{array}\right|=-2,\;\; A_{21}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}2&1\\1&4\end{array}\right|=-7,\;\; A_{31}\,=\,\left|\begin{array}{rr}2&1\\0&2\end{array}\right|=4,\;\; A_{11}\,=\,\left|\begin{array}{rr}0&2\\1&4\end{array}\right|=-2,\;\; A_{21}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}2&1\\1&4\end{array}\right|=-7,\;\; A_{31}\,=\,\left|\begin{array}{rr}2&1\\0&2\end{array}\right|=4,\;\;](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/690451d4e655bea7fcacd49533a5a277.gif) ![A_{12}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}3&2\\2&4\end{array}\right|=-8,\;\; A_{22}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}1&1\\2&4\end{array}\right|=2,\;\; A_{32}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}1&1\\3&2\end{array}\right|=1,\;\; A_{12}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}3&2\\2&4\end{array}\right|=-8,\;\; A_{22}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}1&1\\2&4\end{array}\right|=2,\;\; A_{32}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}1&1\\3&2\end{array}\right|=1,\;\;](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/b5c119e08595d33af1da45a4a7088979.gif) ![A_{13}\,=\,\left|\begin{array}{rr}3&0\\2&1\end{array}\right|=3,\;\; A_{23}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}1&2\\2&1\end{array}\right|=3,\;\; A_{33}\,=\,\left|\begin{array}{rr}1&2\\3&0\end{array}\right|=-6,\;\; A_{13}\,=\,\left|\begin{array}{rr}3&0\\2&1\end{array}\right|=3,\;\; A_{23}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}1&2\\2&1\end{array}\right|=3,\;\; A_{33}\,=\,\left|\begin{array}{rr}1&2\\3&0\end{array}\right|=-6,\;\;](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/e4941c5fb6435128950387940e6a75e6.gif) Запишемо обернену матрицю. Залишилось зробити перевірку.
|
Última modificación: Sunday, 4 de September de 2016, 22:44