3.1 Системи рівнянь. Означення.

Основні означення.

Нехай задана система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими \normalsize{x_1,\,x_2\,\dots x_n}:

\normalsize{\;\;\left \{ \begin{array}{rcl}a_{11}x_1\,+\,a_{12}x_2\,+\dots+\,a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1\,+\,a_{22}x_2\,+\dots+\,a_{2n}x_n&=&b_2\\ \dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots& \dots &\; \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n&=&b_m \end{array}\right.}

Означення.

    Система лінійних рівнянь називається сумісною якщо вона має розв'язок.

При цьому, розв'язкі системи може бути як тільки один, так і ціла множина.
Якщо ж система не має розв'язків, вона називається несумісною .

Означення.

    Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною якщо вона має единий розв'язок.

Якщо ж розв'язків декілька, система називається невизначеною .
Виявляється, якщо розв'язків більше за один, то їх обов'язково нескінченно багато. Тобто, лінійна система не може мати рівно два або в точності вісім розв'язків: розв'язків або один, або зразу безліч.


Теорема Кронеккера-Капеллі.

З системою з m лінійных алгебраїчних рівнянь з n невідомими пов'яжемо дві матриці:
матрицю коефіцієнтів системи \normalsize{A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn} \end{array}\right)} розміром m \times n;
і розширенну матрицю {B=\left(\begin{array}{cccccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}& |&b_1\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}& |&b_2\\ \dots& \dots&\dots&\dots& |&\dots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}& |&b_m \end{array}\right)} розміром m \times n+1;
Нагадаємо, що рангом матриці називається найбільший з порядків її мінорів, що не дорівнюють нулю.

Теорема(Кронеккера-Капеллі).

    Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці коефіцієнтів системи дорівнює рангу розширеної матриці.
Тобто r(A)=r(B)

Зауваження.

    1.Оскільки матриця A немовби "міститься" в матриці B, будь-кий ненульовий мінор матриці A буде також і мінором матриці B. Це означає, що ранг матриці B не менше за ранг матриці A, але ранг B може бути більше за ранг A, якщо в результаті елементарних перетворень розширеної матриці з'явиться рядок, що має єдиним ненульовим елементом вільний член.
    2. Теорема, будучи критерієм сумісності системи, нічого не говорить про її визначеність. Виявляється система буде визначеною, якщо ранги обох матриць A і B співпадають з числом невідомих системи. Але це вже інше твердження, що не міститься в теоремі Кронеккера-Капеллі.




Ostatnia modyfikacja: Thursday, 8 September 2016, 20:30