Розглянемо найбільш загальний випадок. Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими :
З цією системою пов'язані три матриці: матриця коефіцієнтів розміром ; вектор-стовпець невідомих розміром ; и вектор-стовпець вільних членів - права частина розміром . За означенням добуток матриць, матрицю можна помножити на матрицю . Знайдемо цей добуток. В результаті ми отримали матрицю розміром , тобто вектор-стовпець з елементами. Порівнюючи одержану матрицю з лівою частиною даної нам системи рівнянь, помічаємо, що елементи отриманого вектор-стовпця дорівнюють відповідним елементам вектора-стовпця вільних членів.
![\normalsize{\;\left( \begin{array}{c}a_{11}x_1\,+\,a_{12}x_2\,+\dots+\,a_{1n}x_n\\a_{21}x_1\,+\,a_{22}x_2\,+\dots+\,a_{2n}x_n\\ \dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\ \dots\\ b_m \end{array}\right)} \normalsize{\;\left( \begin{array}{c}a_{11}x_1\,+\,a_{12}x_2\,+\dots+\,a_{1n}x_n\\a_{21}x_1\,+\,a_{22}x_2\,+\dots+\,a_{2n}x_n\\ \dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\ \dots\\ b_m \end{array}\right)}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/6f87dfb887707fa5dad0406c13fc0290.gif) Таким чином, приходимо до матричного запису системи лінійних рівнянь.
![AX\;=\;B AX\;=\;B](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/4b4958313d6e62e5bc45b425659cc2e9.gif) Метою розв'язання системи є знаходження всіх невідомих, тобто знаходження вектор-стовпця , елементи якого і є шукані невідомі. У випадку, коли число рівнянь співпадає з числом невідомих ,тобто, матриця є квадратною, розв'язок системи можна знайти з використанням оберненої матриці. Отже, вважаючи матрицю квадратною, знайдемо з одержаного матричного рівняння . Для цього помножимо обидві частини цього рівняння на матрицю , обернену до матриці . Отримаємо
![A^{-1}AX\;=\;A^{-1}B A^{-1}AX\;=\;A^{-1}B](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/fcd2745dcddb18dc4b36788f75ec39bd.gif) Оскільки - одинична матриця, маємо
![EX\;=\;A^{-1}B EX\;=\;A^{-1}B](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/305a362380277cb633d885ec2c34bb62.gif) і, оскільки, при множенні на одиничну матрицю, матриця не змінюється, остаточно отримуємо розв'язок системи:
![\bf{X\;=\;A^{-1}B} \bf{X\;=\;A^{-1}B}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/859659b016b98324b49ddf112e794247.gif) Залишилось відмітити, що наведені перетворення можливі тільки якщо визначник матриці не дорівнює нулю, інакше обернена матриця просто не існує.
Отже, матричний метод розв'язання систем можна сформулювати таким чином:
Якщо матриця коефіцієнтів системи є квадратною і неособливою, для знаходження вектора-стовпца невідомих необхідно матрицю, обернену до матриці коефіцієнтів помножити на вектор-стовпець вільних членів.
|