3.4 Невизначені системи.

Неопределенные системы.Невизначені системи.

Пусть задана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными \normalsize{x_1,\,x_2\,\dots x_n}: Нехай задана система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими \normalsize{x_1,\,x_2\,\dots x_n}:

\normalsize{\;\;\left \{ \begin{array}{rcl}a_{11}x_1\,+\,a_{12}x_2\,+\dots+\,a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1\,+\,a_{22}x_2\,+\dots+\,a_{2n}x_n&=&b_2\\ \dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots& \dots &\; \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n&=&b_m \end{array}\right.}

В процессе решения системы линейных уравнений методом Гаусса расширенная матрица системы В процесі розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса розширенна матриця системи
\normalsize{\left(\begin{array}{cccccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}& |&b_1\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}& |&b_2\\ \dots& \dots&\dots&\dots& |&\dots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}& |&b_m \end{array}\right)}
приводится к виду с нулями ниже главной диагонали. При этом, даже в случае совместной системы, возможны варианты, когда матрица коэффициентов имеет треугольный вид, - и система будет определенной, то есть имеющей единственное решение, зводится до вигляду з нулями нижче головної діагоналі. При цьому, навіть у випадку сумісності системи, можливі варіанти, коли матриця коефіцієнтов має трикутний вигляд, - і система буде визначеною, тобто такою, що має єдиний розв'язок,
\normalsize{\left(\begin{array}{cccccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}& |&b_1\\0&a_{22}&\dots&a_{2n}& |&b_2\\ \dots& \dots&\dots&\dots& |&\dots\\ 0&0&\dots&a_{nn}& |&b_n \end{array}\right)}
а возможен вариант, когда в результате преобразований получается трапецеидальная матрица, а соответствующая ей система имеет число неизвестных превосходящее число уравнений ( m \gt n).
В этом случае система будет неопределенной, то есть имеющей бесконечное множество решений. а можливий варіант, коли в результаті перетворень отримуємо трапецоїдальну матрицю, а відповідна система має число невідомих що перебільшує кількість рівнянь ( m \gt n).
В цьому випадку система буде невизначеною, тобто такою, що має безліч розв'язків.
\normalsize{\left(\begin{array}{ccccccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1\,n-1}&a_{1n}& |&b_1\\0&a_{22}&\dots&a_{2\,n-1}&a_{2n}& |&b_2\\ \dots& \dots&\dots&\dots&\dots& |&\dots\\ 0&0&\dots&a_{m\,n-1}&a_{mn}& |&b_m \end{array}\right)}

;

Для описания всего множества решений неопределенной системы необходимо ввести один или несколько параметров. Количество вводимых параметров зависит от числа "лишних" неизвестных в последнем, самом коротком уравнении и равно разности между количеством неизвестных и количеством строк в окончательной матрице, полученной в методе Гаусса. Для опису всієї множини розв'язків невизначеної системи необхідно ввести один або декілька параметрів. Кількість введених параметрів залежить від числа "зайвих" невідомих в останньому, найкоротшому рівнянні і дорівнює різниці між кількістю невідомих і кількістю рядків в остаточній матриці, що була отримана за методом Гаусса.


Пример. Приклад.

Решить систему Розв'язати систему

\normalsize{\;\;\left \{ \begin{array}{rrrr}x+&2y-&4z=&1\\2x+&y-&5z=&-1\\ x-&y-&z=&-2 \end{array}\right.}

Решение. Розв'язання.
Расширенная матрица заданной системы имеет вид Розширенна матриця заданої системи має вигляд
\normalsize{\left(\begin{array}{rrrcr}1&2&-4&|&1\\2&1&-5&|&-1 \\1&-1&-1&|&-2 \end{array}\right)}\Large \sim
Чтобы получить ноль в первом столбце второй строки, умножим элементы первой строки на 2 и вычтем поэлементно из второй строки. Затем, чтобы получить ноль в третьей строке, вычтем из третьей строки первую.
Получим Щоб отримати нуль в першому стовпці другого рядка, помножимо елементи першого рядка на 3 і віднімемо від другого рядка. Потім, щоб отримати нуль в третьому рядку, віднімемо поелементно від третього рядка перший.
Отримаємо
\Large \sim \normalsize{\left(\begin{array}{rrrcr}1&2&-4&|&1\\0&-3&3&|&-3 \\0&-3&3&|&-3 \end{array}\right)}\Large \sim
Вторая и третья строки оказались совершенно одинаковыми, поэтому, вычитая из третьей строки вторую, получим третью строку, состоящую из нулей.
Другий і третій рядки виявились зовсім однаковими, тому, віднімаючи від третього рядка другий, отримаємо третій рядок, що складається з нулів.
\Large \sim \normalsize{\left(\begin{array}{rrrcr}1&2&-4&|&1\\0&-3&3&|&-3 \\0&0&0&|&0 \end{array}\right)}\Large \sim
Мы можем вычеркнуть эту строку и, кроме того, можно разделить вторую строку на общий множитель -3.
Ми можемо викреслити рядок з нулів, крім того, можна поділити другий рядок на спільний множник -3.
\Large \sim\normalsize{\left(\begin{array}{rrrcr}1&2&-4&|&1\\0&1&-1&|&1 \end{array}\right)}
Запишем систему, которая соответствует полученной матрице: Запишемо систему, що відповідає одержаній матриці:

\normalsize{\;\;\left \{ \begin{array}{rrrr}x+&2y-&4z=&1\\&y-&z=&1 \end{array}\right.}
Последнее уравнение содержит сразу два неизвестных и не может иметь однозначного решения. Скорее оно определяет связь между этими неизвестными. Тогда, выбрав в качестве параметра, то есть свободной переменной, неизвестное z и положив z\,=\,t находим из этого уравнения y\,=\,t+1 . Подставляя найденное значение в первое уравнение, получаем
x\,=\,1-2(t+1)+4t\,=\,2t-1.
Итак,при любом значении параметра t, Останнє рівняння містить одночасно два невідомих і не може мати однозначного розв'язку. Швидше, воно визначає зв'язок між цими невідомими. Тоді, обравши в якості параметра, тобто вільної змінної, невідоме z і поклавши z\,=\,t знаходимо з цього рівняння y=\,t+1 . Підставляючи знайдене значення в перше рівняння, отримаємо
x\,=\,1-2(t+1)+4t\,=\,2t-1.
Отже, при будь-якому значенні параметра t,
x\,=\,2t-1,\:y\,=\,t+1,\:z=t.
удовлетворяют всем уравнениям системы, в чем легко убедиться, и, значит, являются решением данной системы. Поскольку эти формулы описывают все множество решений системы, говорят, что они представляют общее решение неопределенной системы.задовільняють всім рівнянням системи, в чому легко впевнитись, отже, є розв'язком даної системи. Оскільки ці формули описують всю множину розв'язків системи, кажуть, що вони визначають загальний розв'язок невизначеної системи.


Modifié le: Thursday 8 September 2016, 21:35