3.4 Невизначені системи.

Неопределенные системы.Невизначені системи.

Пусть задана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1,x2xn: Нехай задана система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими x1,x2xn:

{a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2am1x1+am2x2++amnxn=bm

В процессе решения системы линейных уравнений методом Гаусса расширенная матрица системы
В процесі розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса розширенна матриця системи
(a11a12a1n|b1a21a22a2n|b2|am1am2amn|bm)
приводится к виду с нулями ниже главной диагонали. При этом, даже в случае совместной системы, возможны варианты, когда матрица коэффициентов имеет треугольный вид, - и система будет определенной, то есть имеющей единственное решение, зводится до вигляду з нулями нижче головної діагоналі. При цьому, навіть у випадку сумісності системи, можливі варіанти, коли матриця коефіцієнтов має трикутний вигляд, - і система буде визначеною, тобто такою, що має єдиний розв'язок,
(a11a12a1n|b10a22a2n|b2|00ann|bn)
а возможен вариант, когда в результате преобразований получается трапецеидальная матрица, а соответствующая ей система имеет число неизвестных превосходящее число уравнений (m>n).
В этом случае система будет неопределенной, то есть имеющей бесконечное множество решений.
а можливий варіант, коли в результаті перетворень отримуємо трапецоїдальну матрицю, а відповідна система має число невідомих що перебільшує кількість рівнянь (m>n).
В цьому випадку система буде невизначеною, тобто такою, що має безліч розв'язків.

(a11a12a1n1a1n|b10a22a2n1a2n|b2|00amn1amn|bm)

;

Для описания всего множества решений неопределенной системы необходимо ввести один или несколько параметров. Количество вводимых параметров зависит от числа "лишних" неизвестных в последнем, самом коротком уравнении и равно разности между количеством неизвестных и количеством строк в окончательной матрице, полученной в методе Гаусса. Для опису всієї множини розв'язків невизначеної системи необхідно ввести один або декілька параметрів. Кількість введених параметрів залежить від числа "зайвих" невідомих в останньому, найкоротшому рівнянні і дорівнює різниці між кількістю невідомих і кількістю рядків в остаточній матриці, що була отримана за методом Гаусса.


Пример. Приклад.

Решить систему Розв'язати систему

{x+2y4z=12x+y5z=1xyz=2

Решение. Розв'язання.
Расширенная матрица заданной системы имеет вид Розширенна матриця заданої системи має вигляд
(124|1215|1111|2)
Чтобы получить ноль в первом столбце второй строки, умножим элементы первой строки на 2 и вычтем поэлементно из второй строки. Затем, чтобы получить ноль в третьей строке, вычтем из третьей строки первую.
Получим
Щоб отримати нуль в першому стовпці другого рядка, помножимо елементи першого рядка на 3 і віднімемо від другого рядка. Потім, щоб отримати нуль в третьому рядку, віднімемо поелементно від третього рядка перший.
Отримаємо

(124|1033|3033|3)
Вторая и третья строки оказались совершенно одинаковыми, поэтому, вычитая из третьей строки вторую, получим третью строку, состоящую из нулей.
Другий і третій рядки виявились зовсім однаковими, тому, віднімаючи від третього рядка другий, отримаємо третій рядок, що складається з нулів.

(124|1033|3000|0)
Мы можем вычеркнуть эту строку и, кроме того, можно разделить вторую строку на общий множитель -3.
Ми можемо викреслити рядок з нулів, крім того, можна поділити другий рядок на спільний множник -3.

(124|1011|1)
Запишем систему, которая соответствует полученной матрице: Запишемо систему, що відповідає одержаній матриці:

{x+2y4z=1yz=1
Последнее уравнение содержит сразу два неизвестных и не может иметь однозначного решения. Скорее оно определяет связь между этими неизвестными. Тогда, выбрав в качестве параметра, то есть свободной переменной, неизвестное z и положив z=t находим из этого уравнения y=t+1 . Подставляя найденное значение в первое уравнение, получаем
x=12(t+1)+4t=2t1.
Итак,при любом значении параметра t,
Останнє рівняння містить одночасно два невідомих і не може мати однозначного розв'язку. Швидше, воно визначає зв'язок між цими невідомими. Тоді, обравши в якості параметра, тобто вільної змінної, невідоме z і поклавши z=t знаходимо з цього рівняння y=t+1 . Підставляючи знайдене значення в перше рівняння, отримаємо
x=12(t+1)+4t=2t1.
Отже, при будь-якому значенні параметра t,

x=2t1,y=t+1,z=t.
удовлетворяют всем уравнениям системы, в чем легко убедиться, и, значит, являются решением данной системы. Поскольку эти формулы описывают все множество решений системы, говорят, что они представляют общее решение неопределенной системы.задовільняють всім рівнянням системи, в чому легко впевнитись, отже, є розв'язком даної системи. Оскільки ці формули описують всю множину розв'язків системи, кажуть, що вони визначають загальний розв'язок невизначеної системи.


Последнее изменение: Thursday, 8 September 2016, 21:35