3.4 Невизначені системи.
Неопределенные системы.Невизначені системи.
Пусть задана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1,x2…xn: Нехай задана система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими x1,x2…xn: {a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2…………………am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm В процессе решения системы линейных уравнений методом Гаусса расширенная матрица системы В процесі розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса розширенна матриця системи (a11a12…a1n|b1a21a22…a2n|b2…………|…am1am2…amn|bm) приводится к виду с нулями ниже главной диагонали. При этом, даже в случае совместной системы, возможны варианты, когда матрица коэффициентов имеет треугольный вид, - и система будет определенной, то есть имеющей единственное решение, зводится до вигляду з нулями нижче головної діагоналі. При цьому, навіть у випадку сумісності системи, можливі варіанти, коли матриця коефіцієнтов має трикутний вигляд, - і система буде визначеною, тобто такою, що має єдиний розв'язок, (a11a12…a1n|b10a22…a2n|b2…………|…00…ann|bn) а возможен вариант, когда в результате преобразований получается трапецеидальная матрица, а соответствующая ей система имеет число неизвестных превосходящее число уравнений (m>n). В этом случае система будет неопределенной, то есть имеющей бесконечное множество решений. а можливий варіант, коли в результаті перетворень отримуємо трапецоїдальну матрицю, а відповідна система має число невідомих що перебільшує кількість рівнянь (m>n). В цьому випадку система буде невизначеною, тобто такою, що має безліч розв'язків. (a11a12…a1n−1a1n|b10a22…a2n−1a2n|b2……………|…00…amn−1amn|bm) ; Для описания всего множества решений неопределенной системы необходимо ввести один или несколько параметров. Количество вводимых параметров зависит от числа "лишних" неизвестных в последнем, самом коротком уравнении и равно разности между количеством неизвестных и количеством строк в окончательной матрице, полученной в методе Гаусса. Для опису всієї множини розв'язків невизначеної системи необхідно ввести один або декілька параметрів. Кількість введених параметрів залежить від числа "зайвих" невідомих в останньому, найкоротшому рівнянні і дорівнює різниці між кількістю невідомих і кількістю рядків в остаточній матриці, що була отримана за методом Гаусса. |
Пример. Приклад.
Решить систему Розв'язати систему {x+2y−4z=12x+y−5z=−1x−y−z=−2 Решение. Розв'язання. Расширенная матрица заданной системы имеет вид Розширенна матриця заданої системи має вигляд (12−4|121−5|−11−1−1|−2)∼ Чтобы получить ноль в первом столбце второй строки, умножим элементы первой строки на 2 и вычтем поэлементно из второй строки. Затем, чтобы получить ноль в третьей строке, вычтем из третьей строки первую. Получим Щоб отримати нуль в першому стовпці другого рядка, помножимо елементи першого рядка на 3 і віднімемо від другого рядка. Потім, щоб отримати нуль в третьому рядку, віднімемо поелементно від третього рядка перший. Отримаємо ∼ (12−4|10−33|−30−33|−3)∼ Вторая и третья строки оказались совершенно одинаковыми, поэтому, вычитая из третьей строки вторую, получим третью строку, состоящую из нулей. Другий і третій рядки виявились зовсім однаковими, тому, віднімаючи від третього рядка другий, отримаємо третій рядок, що складається з нулів. ∼ (12−4|10−33|−3000|0)∼ Мы можем вычеркнуть эту строку и, кроме того, можно разделить вторую строку на общий множитель -3. Ми можемо викреслити рядок з нулів, крім того, можна поділити другий рядок на спільний множник -3. ∼(12−4|101−1|1) Запишем систему, которая соответствует полученной матрице: Запишемо систему, що відповідає одержаній матриці: {x+2y−4z=1y−z=1 Последнее уравнение содержит сразу два неизвестных и не может иметь однозначного решения. Скорее оно определяет связь между этими неизвестными. Тогда, выбрав в качестве параметра, то есть свободной переменной, неизвестное z и положив z=t находим из этого уравнения y=t+1 . Подставляя найденное значение в первое уравнение, получаем x=1−2(t+1)+4t=2t−1. Итак,при любом значении параметра t, Останнє рівняння містить одночасно два невідомих і не може мати однозначного розв'язку. Швидше, воно визначає зв'язок між цими невідомими. Тоді, обравши в якості параметра, тобто вільної змінної, невідоме z і поклавши z=t знаходимо з цього рівняння y=t+1 . Підставляючи знайдене значення в перше рівняння, отримаємо x=1−2(t+1)+4t=2t−1. Отже, при будь-якому значенні параметра t, x=2t−1,y=t+1,z=t. удовлетворяют всем уравнениям системы, в чем легко убедиться, и, значит, являются решением данной системы. Поскольку эти формулы описывают все множество решений системы, говорят, что они представляют общее решение неопределенной системы.задовільняють всім рівнянням системи, в чому легко впевнитись, отже, є розв'язком даної системи. Оскільки ці формули описують всю множину розв'язків системи, кажуть, що вони визначають загальний розв'язок невизначеної системи. |
Последнее изменение: Thursday, 8 September 2016, 21:35