3.5. Однорідні системи.

Однородные системы линейных уравнений.Однорідні системи лінійних рівнянь.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными \normalsize{x_1,\,x_2\,\dots x_n} называется однородной, если ее правая часть состоит из нулей: Система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими \normalsize{x_1,\,x_2\,\dots x_n} називається однорідною, якщо її права частина складається з нулів:

\normalsize{\;\;\left \{ \begin{array}{rcl}a_{11}x_1\,+\,a_{12}x_2\,+\dots+\,a_{1n}x_n&=&0\\a_{21}x_1\,+\,a_{22}x_2\,+\dots+\,a_{2n}x_n&=&0\\ \dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots& \dots &\; \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n&=&0 \end{array}}

Самым важным свойством однородной системы являются то, что однородная система всегда имеет, по крайней мере, одно решение, то есть она всегда совместна. Действительно, подставив вместо всех неизвестных нули, мы обратим в тождества все уравнения системы. Таким образом, нулевое решение, которое называется тривиальным решением, является решением любой однородной системы.
\normalsize{x_1=0,\,x_2=0\,\dots x_n=0}
Впрочем, более важным является случай наличия у однородной системы нетривиальных, ненулевых решений. Очевидно, ненулевые решения будут существовать, когда система является неопределенной.
Для случая, когда число уравнений системы совпадает с числом неизвестных, условие существования ненулевых решений содержится в теореме.

Теорема.
Однородная система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю: \Delta =\ 0.


Для нахождения общего решения такой системы, то есть множества всех ее решений можно, как и для любых неопределенных систем, использовать метод Гаусса. Найважливішою властивістю однорідної системи є те, що однорідна система завжди має, принаймні один розв'язок, тобто вона завжди сумісна. Дійсно, підставши замість всіх невідомих нулі, ми обернемо в тотожності всі рівняння системи. Таким чином, нульовий розв'язок, який називається тривіальним розв'язком, є розв'язком будь-якої однорідної системи.
\normalsize{x_1=0,\,x_2=0\,\dots x_n=0}
Втім, більш важливим є випадок наявності у однорідної системи нетривіальних, ненульових розв'язків. Очевидно, ненульові розв'язки будуть існувати, коли система є невизначеною.
У випадку коли число рівнянь системи співпадає з числом невідомих, умова існування ненульових розв'язків міститься в теоремі.

Теорема.
Однорідна система n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідимими має нетривіальний розв'язок тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю: \Delta =\ 0.


Для знаходження загального розв'язку такої системи, тобто множини всіх її розв'язків можна, як і для будь-яких невизначених систем, використовувати метод Гаусса.


Пример. Приклад.

Решить систему Розв'язати систему

\normalsize{\;\;\left \{ \begin{array}{rrrr}x+&3y+&2z=&0\\3x+&4y+&3z=&0\\ 2x+&y+&z=&0 \end{array}\right.}

Решение. Розв'язання.
В отличие от общего случая метода Гаусса при решении однородных систем использование расширенной матрицы теряет смысл, поскольку при любых элементарных преобразованиях столбец матрицы, соответствующий правой части остается нулевым. Поэтому его можно просто не рассматривать.
Итак, преобразуем матрицу системы, умножая первую, рабочую строку сначала на три, а затем на два и отнимая ее, соответственно, сначала от второй, а затем от третьей строки.
На відзнаку від загального випадку методу Гаусса при розв'язанні однорідних систем використання розширеної матриці втрачає сенс, оскільки при будь-яких елементарних перевореннях стовпець матриці, що відповідає правій частині залишається нульовим. Тому його можна просто не розглядати.
Отже, перетворимо матрицю системи, домножуючи перший, робочий рядок спочатку на три, а потім на два і віднімаючи його, відполвідно, спочатку від другого, а потім від третьго рядка.
\normalsize{\left(\begin{array}{rrr}1&3&2\\3&4&3 \\2&1&1 \end{array}\right)}\Large \sim \normalsize{\left(\begin{array}{rrr}1&3&2 \\ 0&-5&-3 \\ 0&-5&-3 \end{array}\right)}\Large \sim
Вторая и третья строки оказались совершенно одинаковыми, поэтому, вычитая из третьей строки вторую, получим третью строку, состоящую из нулей.
Другий і третій рядки виявились зовсім однаковими, тому, віднімаючи від третього рядка другий, отримаємо третій рядок, що складається з нулів.
\Large \sim \normalsize{\left(\begin{array}{rrr}1&3&2\\0&-5&-3 \\0&0&0 \end{array}\right)}\Large \sim
Мы можем вычеркнуть эту строку и, кроме того, домножим вторую строку на -1, избавившись от минусов.
Ми можемо викреслити рядок з нулів, крім того, домножимо другий рядок на -1, позбувшись мінусів.
\Large \sim\normalsize{\left(\begin{array}{rrr}1&3&2\\0&5&3 \end{array}\right)}
Запишем систему, которая соответствует полученной матрице: Запишемо систему, що відповідає одержаній матриці:

\normalsize{\;\;\left \{ \begin{array}{rrrr}x+&3y+&2z=&0\\&5y+&3z=&0 \end{array}\right.}
Выбрав в качестве параметра, то есть свободной переменной, неизвестное z и положив z\,=\,t находим из этого уравнения y\,=\,-\frac{3}{5}t . Подставляя найденное значение в первое уравнение, получаем
x\,=\,\frac{9}{5}t-2t\,=\,\frac{1}{5}t.
Итак,при любом значении параметра t, Обравши в якості параметра, тобто вільної змінної, невідоме z і поклавши z\,=\,t знаходимо з цього рівняння y\,=\,-\frac{3}{5}t . Підставляючи знайдене значення в перше рівняння, отримаємо
x\,=\,\frac{9}{5}t-2t\,=\,\frac{1}{5}t.
Отже, при будь-якому значенні параметра t,
x\,=\,\frac{1}{5}t,\:y\,=\,-\frac{3}{5}t,\:z=t.
удовлетворяют всем уравнениям системы, в чем легко убедиться, и, значит, являются решением данной системы. Поскольку эти формулы описывают все множество решений системы, говорят, что они представляют общее решение заданной однородной системы.задовільняють всім рівнянням системи, в чому легко впевнитись, отже, є розв'язком даної системи. Оскільки ці формули описують всю множину розв'язків системи, кажуть, що вони визначають загальний розв'язок заданої однорідної системи.


Last modified: Thursday, 8 September 2016, 9:53 PM