Математика-ВАВ ...

6. Модель Леонтьєва міжгалузевого балансу

Нехай економічна система складається з n галузей, кожна з яких виробляє тільки один від продукції в обсязі Х_і . Вся вироблена продукція розподіляється на продукцію, що споживається різними галузями в процесі виробництва Х'_i  і кінцеву продукцію Y_i, що призначена для невиробничого споживання.

Тоді мають місце балансові співвідношення

Х_і = Х'_i + Y_i ,   і=1,2,3,…, n.

Якщо позначити x_ij - обсяг продукції і-ї галузі, що споживається j-тою галуззю в процесі виробництва, то можна записати

Х'_i =х_і1+х_і2 + …+х_іn

або коротше

В розгорнутому вигляді маємо систему балансових рівнянь.

або в згорнутому вигляді

Оскільки різні галузі виробляють продукцію різних видів запис їх в одній системі зручніше проводити не в натуральному, а в вартісному виразі.

Більше того, з метою подальших математичних досліджень, має сенс перейти до взагалі безрозмірних чисел, розглядаючи так звані коефіцієнти прямих витрат.

Ці числа показують, яка частка виробленої в і-ї галузі продукції іде на споживання j-тою галуззю.

Тоді , і система приймає вид

Введемо матриці

А=

 Тоді систему можна записати в матричному вигляді.

               Х=АХ+Y

Це є матричний запис моделі Леонтьєва

Запишемо цю систему у вигляді

               (Е-А)Х= Y

Якщо матриця Е-А невироджена, тобто має обернену, з останнього рівняння можна знайти

               Х=(Е-А)^-1Y

Модель Леонтьєва працює в двох випадках.

1. Нехай маємо відомі обсяги виробництва і виробничого споживання. Треба знайти кінцевий обсяг продукції за кожною галуззю.

Наприклад, Х=(300, 200, 400) ,  а    А=  Y=( 110, 40, 60)

2. Нехай відомі обсяги невиробничого споживання кожного з продуктів. Треба визначити планові обсяги виробництва за кожною галуззю.

Наприклад, маємо а    А=  Y=( 300, 100, 300)

Обернена до Е-А  дорівнює , а Х=(238,186,400)