4.5. Скалярний добуток.

Скалярний добуток

Означення
Скалярним добутком двох векторів  \:\overline a\:  і  \:\overline b\:  називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними (рис.1).

Математичний запис


{\overline a \cdot \overline b=|\overline a|\, |\overline b|\,\cos\alpha}.

Прикладом скалярного добутку є формула роботи  \:{A=|\overline F|\, |\overline r|\,\cos\alpha},\:  де вектор  \:\overline F\:  - сила, що прикладається в точці, яка перемещується з початку в кінець вектора  \:\overline r\: (рис.2).

Scal_proizv

Рис.1
Rabota



Рис.2


Основні властивості скалярного добутку

1.\:\overline a \cdot \overline b=\overline b \cdot \overline a\:  (властивість комутативності).

2.\:(\lambda \overline a) \cdot \overline b=(\lambda(\overline a \cdot \overline b)\:  (властивість асоціативності відносно множення на число).

3.\:\overline a \cdot (\overline b+\overline c)=\overline a \cdot \overline b+\overline a \cdot \overline c\:  (властивість дистрибутивності відносно суми векторів).

4.\:\overline a \cdot \overline a={|\overline a|}^2,\:  наприклад  \:{\overline \imath}^2={\overline \jmath}^2={\overline k}^2=1.\:

5. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності (ортогональності) двох ненульових векторів (їх довжини не дорівнюють нулю) є рівність нулю їх скалярного добутку.
\:{\overline a \bot \overline b\:\Leftrightarrow\:\overline a \cdot \overline b=0.}\:

Доведення
  1. Нехай \:{\overline a \bot \overline b\:\Rightarrow\:\overline a \cdot \overline b=|\overline a|\, |\overline b|\,\cos 90^\circ=0.}\:
  2. \:{\overline a \cdot \overline b=0\:\Rightarrow\:|\overline a|\, |\overline b|\,\cos \alpha=0\:\Rightarrow\:cos \alpha=0\:\Rightarrow\:\alpha=90^\circ,\: \overline a \bot \overline b.}\:
Приклад

\:\overline \imath\cdot \overline \jmath=\overline \imath\cdot \overline k=\overline \jmath\cdot \overline \imath=\overline \jmath\cdot \overline k=\overline k\cdot \overline \imath=\overline k\cdot \overline \jmath=0.\:


Скалярний добуток в координатній формі

Якщо вектори  \:\overline a\:  и  \:\overline b\:  задані своїми координатами: \overline a=(a_{{x}},a_{ {y}},a_{{z}}),\:\overline b=(b_{ {x}},b_{ {y}},b_{{z}}),  то їх скалярний добуток визначається формулою

{\overline a \cdot \overline b=a_{  {x}}b_{ {x}}+a_{  {y}}b_{  {y}}+a_{ {z}}b_{ {z}}}.

Доведення

\begin{aligned} & \overline a \cdot \overline b=(a_{ {x}}\overline \imath+a_{ {y}}\overline\jmath+a_{ {z}}\overline k)\cdot (b_{ {x}}\overline \imath+b_{ {y}}\overline\jmath+b_{ {z}}\overline k)= \\ & =a_{ {x}}b_{ {x}}{\overline \imath}^2+a_{{x}}b_{  {y}}{\overline \imath}\cdot {\overline \jmath}+a_{  {x}}b_{{z}}{\overline \imath}\cdot {\overline k}+a_{{y}}b_{{x}}{\overline \jmath}\cdot {\overline \imath}+a_{  {y}}b_{  {y}}{\overline \jmath}^2+a_{ {y}}b_{ {z}}{\overline \jmath}\cdot {\overline k}+a_{ {z}}b_{  {x}}{\overline k}\cdot {\overline \imath}+a_{  {z}}b_{  {y}}{\overline k}\cdot {\overline \jmath}+a_{  {z}}b_{  {z}}{\overline k}^2. \end{aligned}

Використовуючи властивості 4 і 5, отримуємо  \:{\overline a \cdot \overline b=a_{ {x}}b_{ {x}}+a_{  {y}}b_{ {y}}+a_{  {z}}b_{  {z}}}.



Кут між векторами

Кут між векторами визначається формулою

\cos\alpha=\frac{a_{  {x}}b_{  {x}}+a_{ {y}}b_{{y}}+a_{ {z}}b_{  {z}}}{\sqrt{a_{ {x}}^{ e {2}}+a_{ {y}}^{{2}}+a_{  {z}}^{  {2}}}\,\sqrt{b_{  {x}}^{ {2}}+b_{ {y}}^{ {2}}+b_{  {z}}^{  {2}}}}.


Приклад

Дані три точки:  \:A(1,\,1,\,1),\:B(2,\,2,\,1),\:C(2,\,1,\,2).\:
Знайти кут  \alpha=\angle BAC.

Розв'язання

Віднімаючи від координат кінцевої точки координати початкової точки знайдемо координати векторів 

\:\overline{AB}=(1,\,1,\,0),\:\overline{AC}=(1,\,0,\,1).

Застосовуючи останню формулу, отримуємо

\cos\alpha=\frac{1\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 1}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\,\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt 2\,\sqrt 2}=\frac{1}2{}\:\Rightarrow\:\alpha=60^\circ.

Последнее изменение: Monday, 12 September 2016, 23:32