Математика: 4.5. Скалярний добуток.

4.5. Скалярний добуток.

Скалярний добуток

Означення
Скалярним добутком двох векторів

$\:\overline a\:$ і

$\:\overline b\:$ називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними (рис.1).

Математичний запис

${\overline a \cdot \overline b=|\overline a|\, |\overline b|\,\cos\alpha}.$

Прикладом скалярного добутку є формула роботи

$\:{A=|\overline F|\, |\overline r|\,\cos\alpha},\:$ де вектор

$\:\overline F\:$ - сила, що прикладається в точці, яка перемещується з початку в кінець вектора

$\:\overline r\:$ (рис.2).

Рис.1

Рис.2

Основні властивості скалярного добутку

$1.\:\overline a \cdot \overline b=\overline b \cdot \overline a\:$ (властивість комутативності).

$2.\:(\lambda \overline a) \cdot \overline b=(\lambda(\overline a \cdot \overline b)\:$ (властивість асоціативності відносно множення на число).

$3.\:\overline a \cdot (\overline b+\overline c)=\overline a \cdot \overline b+\overline a \cdot \overline c\:$ (властивість дистрибутивності відносно суми векторів).

$4.\:\overline a \cdot \overline a={|\overline a|}^2,\:$ наприклад

$\:{\overline \imath}^2={\overline \jmath}^2={\overline k}^2=1.\:$

5. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності (ортогональності) двох ненульових векторів (їх довжини не дорівнюють нулю) є рівність нулю їх скалярного добутку.

$\:{\overline a \bot \overline b\:\Leftrightarrow\:\overline a \cdot \overline b=0.}\:$

Доведення

Приклад

$\:\overline \imath\cdot \overline \jmath=\overline \imath\cdot \overline k=\overline \jmath\cdot \overline \imath=\overline \jmath\cdot \overline k=\overline k\cdot \overline \imath=\overline k\cdot \overline \jmath=0.\:$

Скалярний добуток в координатній формі

Якщо вектори

$\:\overline a\:$ и

$\:\overline b\:$ задані своїми координатами:

$\overline a=(a_{{x}},a_{ {y}},a_{{z}}),\:\overline b=(b_{ {x}},b_{ {y}},b_{{z}}),$ то їх скалярний добуток визначається формулою

${\overline a \cdot \overline b=a_{ {x}}b_{ {x}}+a_{ {y}}b_{ {y}}+a_{ {z}}b_{ {z}}}.$

Доведення

$\begin{aligned} & \overline a \cdot \overline b=(a_{ {x}}\overline \imath+a_{ {y}}\overline\jmath+a_{ {z}}\overline k)\cdot (b_{ {x}}\overline \imath+b_{ {y}}\overline\jmath+b_{ {z}}\overline k)= \\ & =a_{ {x}}b_{ {x}}{\overline \imath}^2+a_{{x}}b_{ {y}}{\overline \imath}\cdot {\overline \jmath}+a_{ {x}}b_{{z}}{\overline \imath}\cdot {\overline k}+a_{{y}}b_{{x}}{\overline \jmath}\cdot {\overline \imath}+a_{ {y}}b_{ {y}}{\overline \jmath}^2+a_{ {y}}b_{ {z}}{\overline \jmath}\cdot {\overline k}+a_{ {z}}b_{ {x}}{\overline k}\cdot {\overline \imath}+a_{ {z}}b_{ {y}}{\overline k}\cdot {\overline \jmath}+a_{ {z}}b_{ {z}}{\overline k}^2. \end{aligned}$

Використовуючи властивості 4 і 5, отримуємо $\:{\overline a \cdot \overline b=a_{ {x}}b_{ {x}}+a_{ {y}}b_{ {y}}+a_{ {z}}b_{ {z}}}.$

Кут між векторами

Кут між векторами визначається формулою

$\cos\alpha=\frac{a_{ {x}}b_{ {x}}+a_{ {y}}b_{{y}}+a_{ {z}}b_{ {z}}}{\sqrt{a_{ {x}}^{ e {2}}+a_{ {y}}^{{2}}+a_{ {z}}^{ {2}}}\,\sqrt{b_{ {x}}^{ {2}}+b_{ {y}}^{ {2}}+b_{ {z}}^{ {2}}}}.$

Приклад

Дані три точки:

$\:A(1,\,1,\,1),\:B(2,\,2,\,1),\:C(2,\,1,\,2).\:$
Знайти кут

$\alpha=\angle BAC.$

Розв'язання

Віднімаючи від координат кінцевої точки координати початкової точки знайдемо координати векторів

$\:\overline{AB}=(1,\,1,\,0),\:\overline{AC}=(1,\,0,\,1).$

Застосовуючи останню формулу, отримуємо

$\cos\alpha=\frac{1\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 1}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\,\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt 2\,\sqrt 2}=\frac{1}2{}\:\Rightarrow\:\alpha=60^\circ.$

Последнее изменение: Monday, 12 September 2016, 23:32