5.4. Кут між прямими


На координатній площині задані дві прямі L_{1} і L_{2} (див. рис.). їх рівняння з кутовим коефіцієнтом мають вигляд


L_1:\:y=k_1x+b_1, где k_1=tg\,\alpha_1;

L_2:\:y=k_2x+b_2, где k_2=tg\,\alpha_2.

Нехай \varphi - гострий кут між прямими, як вказано на рисунку. Очевидно, що

\varphi=\alpha_2-\alpha_1.

Звідки

tg\,\varphi=tg(\alpha_2-\alpha_1)=\frac{tg\,\alpha_2-tg\,\alpha_1}{1+tg\,\alpha_2 tg\,\alpha_1}=\frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}. (1)

В загальному випадку формула (1) дозволяє визначити величини двох суміжних кутів між прямими: гострого і тупого. Взявши праву частину формули за модулем, ми автоматично будемо знаходити величину гострого кута

tg\,\varphi=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}\right |. (2)

11

рис.
Зауваження 1.

Якщо прямі паралельні, то \varphi=0 і tg\,\varphi=0. Це можливо коли чисельник правої частини формули (2) обертається в нуль, тобто

k_2=k_1 - умова паралельності прямих.

Зауваження 2.

Якщо прямі перпендикулярні, то \varphi=\frac{\pi}{2}. В цьому випадку tg\,\varphi обертається в нескінченність, а значить знаменник правої частини формули (2) буде дорівнювати нулю. Таким чином, отримуємо

k_2=-\frac{1}{k_1} - умова перпендикулярності прямих.


Приклад.

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку M(-1,2) перпендикулярно прямій y=-\frac{x}{3}+4.

Розв'язання.

Кутовий коефіцієнт заданої прямої k_1=-\frac{1}{3}. Щоб знайти кутовий коефіцієнт шуканої прямої скористаємось умовою перпендикулярності прямих. Знаходимо

k_2=-\frac{1}{k_1}=-\frac{1}{\left(-\frac{1}{3}\right )} =3.

Відомо, що рівняння прямої, що проходить через точку з заданим кутовим коефіцієнтом має вигляд

y-y_0=k(x-x_0).

Тоді, підставляючи координати точки M в це рівняння, отримаємо

y-2=3(x+1).

Або

y=3x+5.
Last modified: Wednesday, 14 September 2016, 9:03 AM