5.8. Відстань від точки до прямої


Нехай на координатній площині задана пряма своим нормальним рівнянням x\cos\alpha+y\sin\alpha-p=0 і точка M_0\left(x_0;y_0\right), що не лежить на цій прямій. Знайдемо відстань d від цієї точки до заданної прямої. Опустимо з точки M_0 перпендикуляр на пряму. Основу перпендикуляру позначимо через M_1\left(x_1;y_1\right) (див. рисунок). Побудуємо вектор \overline {M_1M_0}=(x_0-x_1;y_0-y_1). Очевидно, що його довжина дорвнює шуканій відстані d.

Знайдемо скалярний добуток вектора \overline {M_1M_0} на одиничний нормальний вектор \overline {e}=(\cos\alpha;\sin\alpha). За означенням

\overline {M_1M_0}\cdot \overline e=\left|\overline {M_1M_0}\right |\cdot \left|\overline e\right |\cos\varphi=d\cdot 1\cdot\cos\varphi=d\cos\varphi,

де \varphi - кут між векторами. Але вектори \overline {M_1M_0} и \overline {e} колінеарні. Причему, якщо вони однаково спрямовані (пряма лежить між початком координат і точкою M_0), то \varphi=0, а якщо мають протилежні напрямки (пряма лежить по один бік від початку координат і точки M_0 ), то \varphi=\pi. Тому \cos\varphi=\pm 1, а значить

\overline {M_1M_0}\cdot \overline e=\pm d. (1)
З іншого боку, скалярний добуток векторів \overline {M_1M_0} і \overline {e} в координатній формі можна записати у вигляді

\overline{M_1M_0}\cdot \overline e=(x_0-x_1)\cos\alpha+(y_0-y_1)\sin\alpha=

=x_0\cos\alpha+y_0\sin\alpha-(x_1\cos\alpha+y_1\sin\alpha).< /div>
Оскільки точка M_1\left(x_1;y_1\right) лежить на заданій прямій, її координати задовільняють рівнянню цієї прямої, тобто x_1\cos\alpha+y_1\sin\alpha-p=0. Звідси x_1\cos\alpha+y_1\sin\alpha=p. Тоді

\overline {M_1M_0}\cdot \overline e=x_0\cos\alpha+y_0\sin\alpha-p. (2)

Прирівнюючи праві частини (1) і (2) отримуємо

\pm d=x_0\cos\alpha+y_0\sin\alpha-p.

Або

d=\left|x_0\cos\alpha+y_0\sin\alpha-p\right |. (3)

12

рис.

З одержаної формули (3) випливає, що для того, щоб знайти відстань від точки до прямої, потрібно координати точки підставити в ліву частину нормального рівняння прямої замість x і y, і отримане число взяти за модулем.

Зауваження.

Відстань d можна також визначити за коефіціентами A,\:B,\:C з загального рівняння Ax+By+C=0 за формулою

d=\frac{\left|Ax_0+By_0+C\right |}{\sqrt{A^2+B^2}}. (4)


Приклад.

Знайти відстань від точки K(-1;2) до прямої 5x-12y-8=0.

Розв'язання.

Пряма задана загальним рівнянням, причему A=5,\:B=12,\:C=-8. Координати точки x_0=-1,\:y_0=2. Можна безпосередньо скористатись формулою (4)

d=\frac{\left|5\cdot (-1)+(-13)\cdot 2 -8\right |}{\sqrt{5^2+(-13)^2}}=\frac{\left|-39\right |}{13}=\frac{39}{13}=3.
Zuletzt geändert: Wednesday, 14. September 2016, 09:18