Математика: 5.8. Відстань від точки до прямої

5.8. Відстань від точки до прямої

Нехай на координатній площині задана пряма своим нормальним рівнянням $x\cos\alpha+y\sin\alpha-p=0$ і точка $M_0\left(x_0;y_0\right),$ що не лежить на цій прямій. Знайдемо відстань $d$ від цієї точки до заданної прямої. Опустимо з точки $M_0$ перпендикуляр на пряму. Основу перпендикуляру позначимо через $M_1\left(x_1;y_1\right)$ (див. рисунок). Побудуємо вектор $\overline {M_1M_0}=(x_0-x_1;y_0-y_1).$ Очевидно, що його довжина дорвнює шуканій відстані $d.$

Знайдемо скалярний добуток вектора

$\overline {M_1M_0}$ на одиничний нормальний вектор

$\overline {e}=(\cos\alpha;\sin\alpha).$ За означенням

$\overline {M_1M_0}\cdot \overline e=\left|\overline {M_1M_0}\right |\cdot \left|\overline e\right |\cos\varphi=d\cdot 1\cdot\cos\varphi=d\cos\varphi,$

де

$\varphi$ - кут між векторами. Але вектори

$\overline {M_1M_0}$ и

$\overline {e}$ колінеарні. Причему, якщо вони однаково спрямовані (пряма лежить між початком координат і точкою

$M_0$ ), то

$\varphi=0,$ а якщо мають протилежні напрямки (пряма лежить по один бік від початку координат і точки

$M_0$ ), то

$\varphi=\pi.$ Тому

$\cos\varphi=\pm 1,$ а значить

$\overline {M_1M_0}\cdot \overline e=\pm d.$ (1)

З іншого боку, скалярний добуток векторів

$\overline {M_1M_0}$ і

$\overline {e}$ в координатній формі можна записати у вигляді

$\overline{M_1M_0}\cdot \overline e=(x_0-x_1)\cos\alpha+(y_0-y_1)\sin\alpha=$

$=x_0\cos\alpha+y_0\sin\alpha-(x_1\cos\alpha+y_1\sin\alpha).$ < /div>

Оскільки точка

$M_1\left(x_1;y_1\right)$ лежить на заданій прямій, її координати задовільняють рівнянню цієї прямої, тобто

$x_1\cos\alpha+y_1\sin\alpha-p=0.$ Звідси

$x_1\cos\alpha+y_1\sin\alpha=p.$ Тоді

$\overline {M_1M_0}\cdot \overline e=x_0\cos\alpha+y_0\sin\alpha-p.$ (2)

Прирівнюючи праві частини (1) і (2) отримуємо

$\pm d=x_0\cos\alpha+y_0\sin\alpha-p.$

Або

$d=\left|x_0\cos\alpha+y_0\sin\alpha-p\right |.$ (3)

рис.

З одержаної формули (3) випливає, що для того, щоб знайти відстань від точки до прямої, потрібно координати точки підставити в ліву частину нормального рівняння прямої замість