Математика-ВАВ ...

Нехай у тривімірному просторі задана точка $M_0(x_0,\,y_0,\,z_0)$ і вектор $\overline{N} = (A,\,B,\,C)$.Треба записати рівняння площини, що проходить через задану точку $M_0(x_0,\,y_0,\,z_0)$ перпендикулярно заданому вектору $\overline{N}$

Вибекремо на площині довільну (поточну) точку $M(x,\,y,\,z)$, відмінну від $M_0$ і розглянемо вектор $\overline{M_0 M}$. Яка б не була точка $M$, оскільки вона лежитьв площині, вектор $\overline{M_0 M}$ буде перпендикулярним вектору $\overline{N}$, який за умовою перпендикулярний площині, значить перпендикулярній будь-якому вектору, що в цій площині лежить.

З векторної алгебри відомо, що перпенликулярність двох ненульових векторів еквівалентна рівності до нуля їх скалярного добутку.

За умовою, координати вектора $\overline{N}$ є $(A,\,B,\,C)$, а вектор $\overline{M_0 M}$ своїми проекціями має різниці координат точок $M$ і $M_0$

$\overline{M_0 M}=(x-x_0,\,y-y_0,\,z-z_0)$

Знайдемо скалярний добуток цих векторів і прирівняємо його до нуля.

$\overline{N}\cdot\overline{M_0 M}=A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

Остання рівність

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

і являє собою рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору.

Вектор $\overline{N}$, перпендикулярний площині називається нормальним вектором цієї площини.