6.1. Площина, що проходить через точку нормально вектору.

Нехай у тривімірному просторі задана точка M_0(x_0,\,y_0,\,z_0) і вектор \overline{N} = (A,\,B,\,C).Треба записати рівняння площини, що проходить через задану точку M_0(x_0,\,y_0,\,z_0) перпендикулярно заданому вектору \overline{N}

Вибекремо на площині довільну (поточну) точку M(x,\,y,\,z), відмінну від M_0 і розглянемо вектор \overline{M_0 M}. Яка б не була точка M, оскільки вона лежитьв площині, вектор \overline{M_0 M} буде перпендикулярним вектору \overline{N} , який за умовою перпендикулярний площині, значить перпендикулярній будь-якому вектору, що в цій площині лежить.

З векторної алгебри відомо, що перпенликулярність двох ненульових векторів еквівалентна рівності до нуля їх скалярного добутку.

За умовою, координати вектора \overline{N} є (A,\,B,\,C), а вектор \overline{M_0 M} своїми проекціями має різниці координат точок M і M_0

\overline{M_0 M}=(x-x_0,\,y-y_0,\,z-z_0)

Знайдемо скалярний добуток цих векторів і прирівняємо його до нуля.

\overline{N}\cdot\overline{M_0 M}=A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

Остання рівність

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

і являє собою рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору.

Вектор \overline{N} , перпендикулярний площині називається нормальним вектором цієї площини.

normVector

Приклад

Написати рівняння площини, що проходить через точку M(1,\,1\,1) перпендикулярно вектору \overline{N}=(2,-1,3).

Розв'язання.

Використовуючи отримане вище рівняння можемо зразу записати шукане рівняння площини:

2(x-1)-(y-1)+3(z-1)=0,

Розкриваючи дужки можемо отримати більш звичний вигляд рівняння площини

2x-y+3z-4=0,

Ostatnia modyfikacja: Wednesday, 14 September 2016, 09:26