6.2. Загальне рівняння площини. Неповні рівняння.
Якщо в рівнянні площини, що проходить через задану точку з заданим нормальним вектором розкрити дужки, отримаємо
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=Ax+By+Cz+(−Ax0−By0−Cz0)=0.
Позначивши останню дужку через D, приходимо до рівняння, яке носить назву загального рівняння площини.
Ax+By+Cz+D=0.
Як і рівняння прямої, рівняння площини є лінійним і являє собою лінійну комбінацію змінних. Площина, як і пряма, також є лінійним об'єктом тривимірного простору.
Неповні рівняння площини.
Розглянемо деякі часткові випадки одержаного рівняння.
Нехай A=0, а решта коефіцієнтів ненульові. Рівняння площини набуде вигляду:
By+Cz+D=0
Відсутність змінної x показує незалежність виразу від цієї змінної. Геометрично це означає паралельність площини вісі OX (рис.1).
Аналогічно, якщо тільки B=0, маємо рівняння площини
Ax+Cz+D=0,
паралельної вісі OY(рис.2).
Нарешті, якщо C=0, маємо рівняння
Ax+By+D=0
і площина паралельна OZ(рис.3).
![]() |
![]() |
![]() |
рис.1 | рис.2 | рис.3 |
У випадку, коли D=0 площина має рівняння
Ax+By+Cz=0
і проходить через початок координат, тому що для будь-яких коефіцієнтів A,B,C нульові значення змінних x,y,z задовільняють наведеному рівнянню.
Може статись, що не один, а два з коефіцієнтів A,B,C обернуться в нуль.
Наприклад, нехай одночасно і A=0, і B=0. Отримаємо неповне рівняння
Cz+D=0
або z=−DC.
Неважко бачити, що площина з таким рівнянням паралельно одночасно і вісі OX, і вісі OY , тобто паралельна площині XOY.
Аналогічно можна розглянути і випадки, коли A=0iC=0 або B=0iC=0, яким відповідають площини паралельні площинам XOZ і YOZ відповідно.
У випадку, коли жлден з коефіцієнтів не дорівнює нулю, можна отримати форму замису рівняння площини, зручну для побудови і просторового її уявлення. Мається на увазі равняння площини в відрізках на вісях.
Нехай маємо загальне рівняння
Ax+By+Cz+D=0
і жодене з чисел A,B,C,D не є нулем.
Тоді ми можемо перенести D праворуч і поділити на −D обидві частини рівності.
Ax−D+By−D+Cz−D=1
Перенесемо в знаменники відповідних дробів коефіцієнти A,B,C
x−DA+y−DB+z−DC=1
і позначимо
a=−DA,b=−DB,c=−DC.
Приходимо до рівняння площини у відрізках
xa+yb+zc=1
причому, як неважко бачити, числа a,b,c є координати точок перетину площини з відповідними вісями координат.