Математика: 6.4. Рівняння площини, що проходить через три задані точки.

6.4. Рівняння площини, що проходить через три задані точки.

Відомо, що через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести єдину площину. Отримаємо рівняння такої площини, що проходить через точки

$M_1(x_1,\,y_1,\,z_1),\,\,M_2(x_2,\,y_2,\,z_2),\,\,M_3(x_3,\,y_3,\,z_3$ .

Оскільки шукана площина проходить через точку $M_1$ , її рівняння може бути записане у вигляді

$A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0$ , (1)

де $A,\,B,\, C$ - координати поки що невідомого нам нормального вектора.

Але наша площина проходить і через точку $M_2$ , тоді координати цієї точки повинні задовільняти написаному рівнянню площини. Тобто виконується рівність.

$A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)+C(z_2-z_1)=0$ , (2)

Зрозуміло, що точка $M_3$ теж лежить на площині, і її координати теж задовільняють її рівнянню

$A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)+C(z_3-z_1)=0$ , (3)

Ми маємо три рівняння, що містять три невідомих параметри - координати нормального вектора шуканої площини, причому всі три рівняння є лінійними відносно невідомих $A,\,B,\, C$ . Об'єднаємо рівняння в систему, яка виявляеться лінійною однорідною системою з числом невідомих, співпадаючим з числом рівнянь.

${\;\;\left \{ \begin{array}{rcl}A(x-x_1)+\,B(y-y_1)+\,C(z-z_1)\,&=&0\\A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)+C(z_2-z_1)&=&0\\A(x_3-x_1)+B(y_3-y_1)+C(z_3-z_1)&=&0 \end{array}\right.}$

З цієї системи нас цікавлять невідомі координати $A,\,B,\, C$ нормального вектора шуканої площини. Зрозуміло, що за змістом, нормальний вектор ненульовий, тому нас цікавить нетривіальний розв'язок однорідної системи.

Однорідна система має нетривіальний розв'язок коли її визначник дорівнює нулю. В нашому віпадку маємо

${ \left|\begin{array}{ccc}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1 \end{array}\right|=0}.$

Виявляеться остання рівність і є рівняння площини, що проходить через задані точки.

Дійсно, уявивши, що визначник розкривається за першим рядком, можна помітити, що ми отримаємо лінійне відносно змінних $x,\,y,\,z$ рівняння, що, очевидно, є рівнянням якоїсь площини. З іншого боку, підстановка замість $x,\,y,\,z$ в визначник координат заданих трьох точок, перетворює визначник в нульовий, тобто всі три точки лежать на цій площині, що і потрібно.