7.2. Дійсні числа.


Дійсні числа

Раціональні і іррациональні числа складають множину діейсних чисел R, и саме цю множину ми будемо вважати найзагальнішою, досконадою і достатньою для побудови стрункої теорії математичного анализу.

Дійсні числа визначаються як числа, які можна записати нескінченним десятковим дробом, тобто числа вигляду

x=a,\overline{\alpha_1}\;\overline{\alpha_2}\;\overline{\alpha_3}\dots\ \overline{\alpha_n}\dots, де a - ціле число, а \overline{\alpha_i} - цифри:0,1,2,...9.

. Всі попередні числові множини містяться в множині дійсних чисел. Так, цілі числа мають дробову частину, що складається з нулів, а раціональні представимі в вигляді нескінечнного періодичного дробу.

Переходячи до властивостей дійсних чисел, зазначимо, що дійсні числа відрізняються від раціональних лише однією властивістю, яка посилює і доповнює властивість щільності - властивістю неперервності.
Не наводясчи поки-що строгого означення неперервності, проилюструемо цю властивість за допомогою числової прямої. Виявляється, існує взаємно-однозначна відповідність між точками прямої і дійсними числами. Тому ми говоримо сваме про числову пряму і, як правило, позначаемо її так же як і множину дійсних чисел R.

Ця відповідність можлива якраз завдяки неперервності - яку б точку на прямій ми не обрали, обов'язково знайдеться дійсне число, яке цій точці відповідає.

Подводячи підсумок, сформулюємо вищенаведені властивості, як сластивості множини дійсних чисел.

1. В множині дійсних чисел R для будь-яких двох елементів \:x,\:y\:\in R\; визначена операція додавання \:x+y\:, яка задовільняє властивостям:
1.1. \:x+y=y+x\: - комутативність;
1.2. \:(x+y)+z=x+(y+z)\: - асоціативність;
1.3. Існує число 0, таке що для будь-якого \:x\:\in R\; виконується \:x+0=x\:;
1.4. Для будь-якого \:x\:\in R\; існує протилежне число \;-x\;, таке, що \:x+(-x)=0\:

2. Для будь-яких двох елементів \:x,\:y\:\in R\; визначена операція множення \:x\cdot y\:, яка задовільняє властивостям:
2.1. \:x\cdot y=y\cdot x\: - комутативність;
2.2. \:(x\cdot y)z=x(y\cdot z)\: - асоціативність;
2.3. Існує число 1, таке що для будь-якого \:x\:\in R\; виконується \:x\cdot 1=x\:;
2.4. Для будь-якого \:x\:\in R\; існує обернене число \frac{1}{x}=x^{-1}\;, таке, що \:x\cdot x^{-1}=1\:

3. Дистрибутивність. \;x(y+z)\;=\;xy+xz\;

4. Впорядкованість
4.1. Для будь-яких двох чисел \:x,\:y\:\in R\; або \;x \lt y\;, або y\gt x, або x=y\;
4.2. Якщо \;x\lt y\; i \; y \lt z то x\lt z\;
4.3. Якщо \;x\lt y\;, то x+z \lt y+z,
4.4. Якщо \;x \lt y\;i\; z>0, то \;xz \lt yz\;,якщо ж z \lt 0 то xz \gt yz
4.5. Множина R не обмежене ні зверху, ні знизу.

5. Неперервність.
5.1. Множина R щільна. Між будь-якими двомя дійсними числами є безліч дійсних чисел.
5.2. Множина R неперервна. Існує взаємно-однозначна відповідність між дійсними числами і точками числової прямої.

Геометрична інтерпретація множини дійсних чисел у вигляді числової прямої знаходить продовження при розгляді деяких підмножин множини дійсних чисел.
Важливішими такими підмножинами є:

- відкритий інтервал, або просто інтервал (a,b) - множина точок (чисел), розташованих строго між a і b
(a,b)=\{x \in R: a<x<b\}
Слово "відкритий" подкреслює, що точки a і b не належать інтервалу.

- замкнений відрізок, або просто відрізок [a,b] - множина точок, розташованих між a і b, включаючи ці точки.
[a,b]=\{x \in R: a\le x \le b\}
Слово "замкнений" каже, що точки a і b теж належать відрізку.

Інтервали і відрізки інді об'єднують спільним терміном проміжок, при цьому можна говорити про відкритий проміжок, замкнений проміжок і навіть напіввідкритий проміжок, наприклад [a,b) .
Якщо один з кінців, що обмежує проміжок відсітній, отримаємо необмежену множине, яка геометрично являє собою напівпряму, або промінь. Наприклад, нескінченний ітервал (0,+\infty)=\{x \in R: x>0\} - описує множину доданніх чисел. Аналогічно, (-\infty,d]=\{x \in R: x\le d\}
Замітимо, що нескінченність \infty не є визначене число, тому вона не може належати проміжку, і відповідний кінец проміжку завжди відкритий.
Проміжок з обома нескінчнними кінцями є вся множина дійсних чисел (-\infty,+\infty)= R
Різноманітні геометричні властивості числових і нечислових множин вивчаються в математичній топології, тому залишимо їх розгляд на майбутнє.
Ostatnia modyfikacja: Sunday, 18 September 2016, 23:00