Математика: 7.3 Означення послідовності. Обмежені послідовності

7.3 Означення послідовності. Обмежені послідовності

Знайомство з поняттями математичного анализу почнемо з числових послідовностей.

Означення 1.
Послідовністю дійсних чисел, або просто послідовністю називається впорядкована нескінечена множіни дійсних чисел, елементи якої занумеровані натуральними числами.

Послідовність позначається

$\;\{x_n\}=\{x_1,\;x_2\;\dots\;x_n,\dots\}$

Числа

$\;x_n$ називаються елементами послідовності.

Занумеровані - означає, що кожному елементу послідовності поставлено у відповідність певне натуральне число, і, навпаки, кожному натуральному числу відповідає певний едемент послідовності. Таким чиномо, існує взаємно-однозначна вілповідність між множиною елементів послідовності і множиною натуральних чисел.

Можна сказати, що послідовність - це зліченна впорядкована множина дійсних чисел.

Приклади послідовностей

1.

$\{n^2\}=\{1,\;4,\;9,\;16,\;\dots,\; n^2,\;\dots\}$ послідовність квадратів натуральних чисел.

$x_n\;=\; n^2$

2.

$\{\frac{1}{n}\}=\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\dots,\; \frac{1}{n},\;\dots\}$ - елементи послідовності є числа, обернені своєму номеру:

$\;x_n\;=\;\frac{1}{n}$ .

3.

$\{c\}=\{c,\;c,\;\dots,\;c,\;\dots\}$ - стала послідовність: всі елементи дорівнюють одному і тому ж числу

$c$ .

Приклад ілюструє, що різні елементи послідовності можуть мати однакові значення.

Так, третій и п'ятий елементи послідовності

$\{1,-2,4,-3,4,6,\dots\}$ дорівнюють одному і тому ж числу

$x_3\;=4$ і

$x_5\;=4$ ,
але вони залишаються різними елементами послідовності, оскільки відрізняються номером.

4.

$\{\;(\;-\;1\;)^n \} =\{-1,\;1,\;-1\;1\;\dots,\;(\;-\;1\;)^n,\dots\}$ - двоточкова послідовність, елементи якої по черзі приймають два значения 1 і -1.

Означення 2.
Послідовність

$\{\;x_n\;\}$ називається обмеженою зверху, якщо існує таке число

$M$ , що всі елементи послідовності будуть менші цього числа

$x_n\; \lt M$ .
Або, використовуючи квантори,

$\{\;x_n\;\}$ обмежена зверху, якщо

$\exists M \; \forall n : \; x_n\;\lt\;M$ .
Аналогічно, послідовність

$\{\;x_n\;\}$ називається обмеженою знизу, якщо існує таке число

$L$ , що всі елементи послідовності будуть більші цього числа

$x_n\; \gt L$ .

$\exists L \; \forall n : \; x_n\;\gt\;L$ .
Послідовність

$\{\;x_n\;\}$ називається обмеженою, якщо вона обмежена і знизу і зверху.
Часто обмеженість послідовності означають за допомогою модулю.
Послідовність

$\{\;x_n\;\}$ називається обмеженою, якщо існує таке число

$M\;\gt 0$ , що всі елементи послідовності за модулем будуть менші за це число

$|x_n|\; \lt M$ .

$\exists M\;\gt 0 \; \forall n : \; |x_n|\;\lt\;M$ .

Приклади.
Дослідимо наведені вище приклади послідовностей на обмеженість.

1.

$\{n^2\}=\{1,\;4,\;9,\;16,\;\dots,\; n^2,\;\dots\}$ послідовність квадратів натуральних чисел обмежена знизу числом 0, але необмежена зверху, оскільки для будь-якого, скіль завгодно великого

$M$ знайдеться

$n$ таке, що

$n^2$ буде більше за це

$M$ .

$\forall M \exists n :\; n^2\;\gt\;M$ .

2. Послідовність

$\;x_n\;=\;\frac{1}{n}$ обмежена і зверху і знизу. Всі елементи послідовності, крім першого, росташовані строго між нулем та одиницею. Щоб обмежити строгою нерівеністю всі елементи послідовності, в якості верхньої межі

$M$ можна взяти будь-яке число, більше за 1. Так, всі елементи послідовності задовільняють нерівеності