Математика: 7.5. Властивості границі послідовності.

7.5. Властивості границі послідовності.

Пункт присвячений властивостям послідовностей, пов’язаних з їх границями.

Властивість 1 (єдиність границі).
Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

Дійсно, якщо припустити, що послідовність

$\;\{x_n\}$ має дві різні границі

$a \ne b$ , то для достатньо малого

$\varepsilon$

$\varepsilon$ -околи цих точок не будуть перетинатись. Отже, який номер

$N$ ми б не обрали, всі наступні за

$x_N$ элементи послідовності не можуть знаходитися одночасно і в одному і в другому

$\varepsilon$ -околі.
Таким чином, границя послідовності може бути тільки одна.

Наприклад, двоточкова послідовність

$\{x_n\}\;=\;\{(\;-\;1\;)^n\}$
не має границі, оскільки елементи по чеорзі знаходяться то в околі точки

$a=-1$ , то в околі

$b=1$ , а при малих

$\varepsilon$ ці околи не перетинаються.

Властивість 2 (обмеженість збіжної послідовності).
Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Нехай

$a=\lim\limits_{n \to \infty}x_n$ . Обмеженість означає, що існує таке

$M \gt 0$ , що всі елементи послідовності будуть знаходитись в інтервалі

$(\; a-M,a+M\;)$ .

$\exists M \gt 0 \forall n : |x_n \;-\;a|\; \lt M$

Знайдемо таке

$M$ . Для довільно обраного

$\varepsilon$ знайдеться

$N$ такий, що, починаючи з цього номеру, всі елементи послідовності містяться в

$\varepsilon$ -околі точки

$a$ . Поза цим околом залишається лише скінченна кількість перших елементов. Залишилось взяти

$M$ таким великим, щоб охопити всі елементи, що опинились поза

$\varepsilon$ -околом.
Обмеженість доведена.

Зауваження 1.
Обмеженість лише необхідна, але не достатня умова збіжності. Послідовність може бути огмеженою, але не мати границі (наприклад, як розглянута раніше двоточкова послідовність

$\{x_n\}\;=\;\{(\;-\;1\;)^n\}$ ).

Наслідок.
Якщо послідовність необмежена, то її границя не існує.

Так, необмежена послідовність