7.5. Властивості границі послідовності.

Пункт присвячений властивостям послідовностей, пов’язаних з їх границями.

Властивість 1 (єдиність границі).
Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

Дійсно, якщо припустити, що послідовність \;\{x_n\} має дві різні границі a \ne b, то для достатньо малого \varepsilon \varepsilon-околи цих точок не будуть перетинатись. Отже, який номер N ми б не обрали, всі наступні за x_N элементи послідовності не можуть знаходитися одночасно і в одному і в другому \varepsilon-околі.
Таким чином, границя послідовності може бути тільки одна.

Наприклад, двоточкова послідовність
 \{x_n\}\;=\;\{(\;-\;1\;)^n\}
не має границі, оскільки елементи по чеорзі знаходяться то в околі точки a=-1, то в околі b=1, а при малих \varepsilon ці околи не перетинаються.

Властивість 2 (обмеженість збіжної послідовності).
Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Нехай a=\lim\limits_{n \to \infty}x_n. Обмеженість означає, що існує таке M \gt 0, що всі елементи послідовності будуть знаходитись в інтервалі (\; a-M,a+M\;).

 \exists M \gt 0 \forall n : |x_n \;-\;a|\; \lt M

Знайдемо таке M. Для довільно обраного \varepsilon знайдеться N такий, що, починаючи з цього номеру, всі елементи послідовності містяться в \varepsilon-околі точки a. Поза цим околом залишається лише скінченна кількість перших елементов. Залишилось взяти M таким великим, щоб охопити всі елементи, що опинились поза \varepsilon-околом.
Обмеженість доведена.

Зауваження 1.
Обмеженість лише необхідна, але не достатня умова збіжності. Послідовність може бути огмеженою, але не мати границі (наприклад, як розглянута раніше двоточкова послідовність  \{x_n\}\;=\;\{(\;-\;1\;)^n\}).

Наслідок.
Якщо послідовність необмежена, то її границя не існує.

Так, необмежена послідовність \{x_n\}\;=\; \{n^2\} не має границі.

Зауваження 2.
Якщо послідовність необмежено зростає, кажуть, що вона прямує до нескінченності і умовно пишуть
\lim\limits_{n \to \infty}x_n=\infty або x_n\;\rightarrow\; \infty
Аналогічно
\lim\limits_{n \to \infty}x_n=-\infty або x_n\;\rightarrow\;- \infty
означає, що послідовність необмежено спадає.
Властивість 3 (арифметичні операції з послідовностями).
Якщо послідовності \{x_n\} і \{y_n\} мають границями числа a і b відповідно
\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a, \lim\limits_{n \to \infty}y_n=b

то:
1. Границя суми дорівнює суммі границь \lim\limits_{n \to \infty}(x_n+y_n)=a+b.

2. Стала виноситься за знак границі \lim\limits_{n \to \infty}\lambda x_n=\lambda a.

3. Границя добутку дорівнює добутку границь \lim\limits_{n \to \infty}(x_n \cdot y_n)=a\cdot b.

4. Якщо b \ne 0, то границя частнки дорівнює частці границь.

\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}.

5. Якщо послідовність \{x_n\} необмежена, зокрема, якщо x_n\;\rightarrow\; \pm \infty, то \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{x_n}=0.

Наприклад,
\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}=0, оскільки 2^n\;\rightarrow\; \infty при необмеженому зростанні n.
Остання зміна: Sunday 18 September 2016 23:14 PM