7.6.Приклади обчислення границь послідовностей
Приклад 1. Обчислити границю. ![\lim_{n \to \infty}(n^2+5-\frac{1}{n^2}) \lim_{n \to \infty}(n^2+5-\frac{1}{n^2})](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/f9ea14179b1137767fe3f3bee0907121.gif)
Розв’язання. Разкладемо границю на сумму границь і обчислимо кожну з отриманих границь окремо.
![\lim_{n \to \infty}(n^2+5-\frac{1}{n^2})=\lim_{n \to \infty}n^2+\lim_{n \to \infty}5-\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}=\infty+5-0=\infty \lim_{n \to \infty}(n^2+5-\frac{1}{n^2})=\lim_{n \to \infty}n^2+\lim_{n \to \infty}5-\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}=\infty+5-0=\infty](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/ca2836e5f9d739f0958a4fb05e8ecebc.gif)
Відповідь. Послідовність не має границі, оскільки необмежена.
|
Приклад 2. Обчислити границю. ![\lim_{n \to \infty}\frac{8}{n^3+n-1} \lim_{n \to \infty}\frac{8}{n^3+n-1}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/a7e3ffe23f0ee2ddd3635dbf432e7d40.gif)
Розв’язання. Оскільки в знаменнику стоїть необмежено зростаюча послідовність, задана границя доравнює 0.
Відповідь. .
|
Приклад 3. Обчислити границю. ![\lim_{n \to \infty}\frac{n^2+7n+5}{n^2-2} \lim_{n \to \infty}\frac{n^2+7n+5}{n^2-2}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/b74b0ac0ea3766df49a05bd4d55b3c6a.gif)
Розв’язання. Неважко бачити, що і чисельник і знаменник дробу прямують до нескінченності, тому в цьому випадку ми не можемо записати границю частки, як частку границь чисельника і знаменника. Для обчислення подібних границь застосовується прийом, що полягає в діленні чисельника і знаменника границі на спільний старший степінь, або на менший з їх старших степенів, якщо вони різні. В нашому прикладі, розділивши на , маємо ![\lim_{n \to \infty}\frac{n^2+7n+5}{n^2-2}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{7n}{n^2}+\frac{5}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac {2}{n^2}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{7}{n}+\frac{5}{n^2}}{1-\frac{2}{n^2}}= \lim_{n \to \infty}\frac{n^2+7n+5}{n^2-2}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{7n}{n^2}+\frac{5}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}-\frac {2}{n^2}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1+\frac{7}{n}+\frac{5}{n^2}}{1-\frac{2}{n^2}}=](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/ac96cae3cb7a228d7f703470e4112be1.gif)
Тепер видно, що і чисельник і знаменник прямують до одиниці і ми можемо обчислити границю дробу як відношення границь чисельника і знаменника. Остаточно, отримаємо
![=\lim_{n \to \infty}\frac{1+0+0}{1-0}=\frac{1}{1}=1 =\lim_{n \to \infty}\frac{1+0+0}{1-0}=\frac{1}{1}=1](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/1d72e9c91a03e69c1d9a52dace215ce9.gif)
Відповідь. .
|
Приклад 4. Обчислити границю. ![\lim_{n \to \infty}\frac{8n^3-5n+3}{3n^5-2n^3-1} \lim_{n \to \infty}\frac{8n^3-5n+3}{3n^5-2n^3-1}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/a5f7586d8941aedbe4bc23c5fefe3bd6.gif)
Розв’язання. Степінь чисельника 3, а степінь знаменника 5, тому ділимо чисельник і знаменник на ![n^3 n^3](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/25ebb7d03839869698867bbbf0a9932a.gif) Отримаємо ![\lim_{n \to \infty}\frac{8n^3-5n+3}{3n^5-2n^3-1}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{8n^3}{n^3}-\frac{5n}{n^3}+\frac{3}{n^3}}{\frac{3n^5}{n^3}-\ frac{2n^3}{n^3}-\frac{1}{n^3}}=\lim_{n \to \infty}\frac{8-\frac{5}{n^2}+\frac{3}{n^3}}{3n^2-2-\frac{1}{n^3}} \lim_{n \to \infty}\frac{8n^3-5n+3}{3n^5-2n^3-1}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{8n^3}{n^3}-\frac{5n}{n^3}+\frac{3}{n^3}}{\frac{3n^5}{n^3}-\ frac{2n^3}{n^3}-\frac{1}{n^3}}=\lim_{n \to \infty}\frac{8-\frac{5}{n^2}+\frac{3}{n^3}}{3n^2-2-\frac{1}{n^3}}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/56bc88728532c0d3ae4de392825129e9.gif)
Границя чисельника дорівнює 8, але знаменник залишається необмеженим і прямує до нескінченності. Це означає, що дріб прямує до нулю. Остаточно, отримаємо
![=\lim_{n \to \infty}\frac{8-0+0}{3n^2-2-0}=0 =\lim_{n \to \infty}\frac{8-0+0}{3n^2-2-0}=0](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/2d42de3bd3fd4cc51e45e7bc07c1cb65.gif)
Відповідь. .
|
Приклад 5. Обчислити границю. ![\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{9n^3-4n^2+7}}{2-n\sqrt{n}} \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{9n^3-4n^2+7}}{2-n\sqrt{n}}](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/f177f45196d4847de13b86c375dfaafc.gif)
Розв’язання. Визначаємо старший степінь. Враховуючи, що корінь можна представити у формі дробового показника степеня, приходими висновку, що степінь чисельника дорівнює . Такий же і степінь знаменника. Розділимо чисельник і знаменник дробу на , враховуючи, що при внесенні виразу під корінь, воно підноситься до відповідного степеня, в нашому випадку - в квадрат. Отримаємо ![\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{9n^3-4n^2+7}}{2-n\sqrt{n}}= \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{\sqrt{9n^3-4n^2+7}}{n^{3/2}}}{\frac{2-n\sqrt{n}}{n^{3/2}}}= \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{\frac{9n^3}{n^3}-\frac{4n^2}{n^3}+\frac{7}{n^3}}}{\frac{2}{n^ {3/2}}-\frac{n\sqrt{n}}{{n^{3/2}}}}= \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{9-\frac{4}{n}+\frac{7}{n^3}}}{\frac{2}{n^{3/2}}-1}=\frac{\sqrt{9-0+0}}{0-1}=3 \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{9n^3-4n^2+7}}{2-n\sqrt{n}}= \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{\sqrt{9n^3-4n^2+7}}{n^{3/2}}}{\frac{2-n\sqrt{n}}{n^{3/2}}}= \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{\frac{9n^3}{n^3}-\frac{4n^2}{n^3}+\frac{7}{n^3}}}{\frac{2}{n^ {3/2}}-\frac{n\sqrt{n}}{{n^{3/2}}}}= \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{9-\frac{4}{n}+\frac{7}{n^3}}}{\frac{2}{n^{3/2}}-1}=\frac{\sqrt{9-0+0}}{0-1}=3](https://moodle.znu.edu.ua/filter/tex/pix.php/a3c1cc82dceaf2df9d7bc5554a3f6696.gif)
Відповідь. .
|
Последнее изменение: Monday, 19 September 2016, 14:29