8.2.Обчислення границь функції.Невизначенності.

З властивостей границі функції, пов'язані з арифметичними операціями випливає, що границю навіть складного раціонального виразу можна обчислити, як відповідну комбінацію границь його складових. Більше того, як ми побачимо в наступній темі, завдяки неперервності, операція обчислення границі проходить навіть крізь символи всіх елементарних функцій.

Приклад 1.Обчислити границю  \lim\limits_{x \to 2}\frac{2x^2-\sin \frac{\pi x}{4}}{x^3-3x}

Розв’язання.

Всі вирази неперервні, тому просто підставляємо значення 2 замість x і обчислюємо отриманий алгебраїчний вираз.

 \lim\limits_{x \to 2}\frac{2x^2-\sin \frac{\pi x}{4}}{x^3-3x}=\frac{2\cdot 2^2-\sin \frac{2\pi}{4}}{2^3-3\cdot 2}=\frac{8-1}{8-6}=\frac{7}{2}

Певні труднощі виникають, коли останній вираз обчислити в кінцевому вигляді неможливо, скажімо, виникає нуль в знаменнику. Причому в деяких випадках результат випливає безпосередньо з властивостей функцій. Наприклад, якщо знаменник дробу прямує до нуля, а чисельник - до ненульової константи, весь дріб буде необмежено зростати (за модулем), тобто прямувати до нескінченності. Але часто зустрічаються випадки, коли очевидних властивостей недостатньо, а потрібен поглиблений аналіз конкретного вигляду функції що входять в вираз.

Йдеться про так звані невизначенності .

Виявляється, перелік таких невизначенностей дуже обмежений, їх всього сім:

\{\frac{\infty}{\infty}\},\;\;\;\{\frac{0}{0}\},\;\;\;\{0 \cdot \infty\},\;\;\;\{\infty-\infty\},\;\;\;\{1^\infty\},\;\;\;\{0^0\},\;\;\;\{\infty^0\}

В ході перетворень невизначенности прийнято позначати в фігурних лапках, а процес обчислення виразу, що містить невизначенність називається розкриттям невизначенності.

З першою з наведених невизначенностей ми мали справу при обчисленні границь послідовностей, що мають вигляд відношення многочленів. Методом розкриття такої невизначенності було ділення чисельника і знаменника дробу на найпотужніший, в сенсі прямування до нескінченності, член.Таким чином ми позбувались причини, що створює нескінченногсті в чисельнику і знаменнику.

Схожий підхід можна використати і при розкритті невизначенності \{\frac{0}{0}\}, коли в чисельнику і знаменнику стоять алгебраїчні вирази. Тільки позбуватись тепер треба множника, що прямує до нуля, наявність якого і в чисельнику і в знаменнику створює невизначенність.

Приклад 2. Обчислити границю \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}.

Підставляючи одиницю замість x, і в чисельнику і в знаменнику отримаємо 0, тобто маємо невизначенність \{\frac{0}{0}\}.

Розкладеми вирази в чисельнику і знаменнику на множники.

\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\{\frac{0}{0}\}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}

Тепер видно, що нулі в чисельнику і знаменнику при x\to 1 створює множник (x-1), на який ми і скоротимо даний дріб, після чого легко отримується результат .

\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-2)}{(x+1)}=-\frac{1}{2}

Відповідь: \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=-\frac{1}{2}.

Зауваження. Ділити чисельник і знаменник на множник, що дорівнює нулю не можна! Але, в нашому випадку множник не дорівнює нулю. Він тільки прямує до нуля, наближується скільзавгодно близько, але не дорівнює.

У випадку, коли вирази містять корені, виділення нульового множника не таке очевидне, але часто допомагає множення на спряжене.

Приклад 3. Обчислити границю \lim\limits_{x\to 2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{1-\sqrt{x-1}}.

Розв’язання.

Підставляючи замість x одиницю, впевнюємось, що маємо невизначенність \{\frac{0}{0}\}. Домножимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений до чисельника. Використовуючи формулу різниці квадратів, тримаємо

\lim\limits_{x\to 2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{1-\sqrt{x-1}}=\{\frac{0}{0}\}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)}{(1-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+7}+3)}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x+7-9)}{(1-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+7}+3)}=
Тепер домножимо чисельник і знаменник на спряжене до чисельника і теж використаємо різницю квадратів.
=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x+7-9)}{(1-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+7}+3)}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x-2)(1+\sqrt{x-1})}{(1-\sqrt{x-1})(1+\sqrt{x-1})(\sqrt{x+7}+3)}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x-2)(1+\sqrt{x-1})}{(1-x+1)(\sqrt{x+7}+3)}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x-2)(1+\sqrt{x-1})}{(2-x)(\sqrt{x+7}+3)}=.
Нарешті, скорочуючи на x-2 ( в знаменнику з'явиться мінус) отримуємо остаточну відповідь.
\lim\limits_{x\to 2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{1-\sqrt{x-1}}=\frac{(1+\sqrt{1})}{-(\sqrt{9}+3)}=-\frac{1}{3}
Невизначенності \{\frac{\infty}{\infty}\},\;i\;\{\frac{0}{0}\} вважаються основними, пов’язаними з певниими спеціальними методами розкриття. Решта невизначенностей, як правило, зводиться до однієї з цих, основних, невизначенностей.
Наприклад, границя \lim\limits_{x\to 0}x ctg\;x представляє невизначенність \{0\cdot\infty\}. Для її розкриття необхідно перейти до однієї з основних невизначенностей. Відмітимо, що обидві основні невизначенності пов’язані з дробами. Тому перетворимо дану границю до дробового представлення.
\lim\limits_{x\to 0}x ctg\;x= \{0\cdot\infty\}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{tg\;x}=\{\frac{0}{0}\}=\dots
Або так:
\lim\limits_{x\to 0}x ctg\;x= \{0\cdot\infty\}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{ctg\;x}{\frac{1}{x}}=\{\frac{\infty}{\infty}\}=\dots
Втім, щоб довести до кінця обчислення зазначеної границі, варто познайомитись з деякими спеціальними видами границь, які назвемо важливими границями.
Остання зміна: Monday 19 September 2016 14:44 PM