Математика-ВАВ ...

З властивостей границі функції, пов'язані з арифметичними операціями випливає, що границю навіть складного раціонального виразу можна обчислити, як відповідну комбінацію границь його складових. Більше того, як ми побачимо в наступній темі, завдяки неперервності, операція обчислення границі проходить навіть крізь символи всіх елементарних функцій.

Приклад 1.Обчислити границю $\lim\limits_{x \to 2}\frac{2x^2-\sin \frac{\pi x}{4}}{x^3-3x}$

Розв’язання.

Всі вирази неперервні, тому просто підставляємо значення 2 замість $x$ і обчислюємо отриманий алгебраїчний вираз.

$\lim\limits_{x \to 2}\frac{2x^2-\sin \frac{\pi x}{4}}{x^3-3x}=\frac{2\cdot 2^2-\sin \frac{2\pi}{4}}{2^3-3\cdot 2}=\frac{8-1}{8-6}=\frac{7}{2}$

Певні труднощі виникають, коли останній вираз обчислити в кінцевому вигляді неможливо, скажімо, виникає нуль в знаменнику. Причому в деяких випадках результат випливає безпосередньо з властивостей функцій. Наприклад, якщо знаменник дробу прямує до нуля, а чисельник - до ненульової константи, весь дріб буде необмежено зростати (за модулем), тобто прямувати до нескінченності. Але часто зустрічаються випадки, коли очевидних властивостей недостатньо, а потрібен поглиблений аналіз конкретного вигляду функції що входять в вираз.

Йдеться про так звані невизначенності .

Виявляється, перелік таких невизначенностей дуже обмежений, їх всього сім:

$\{\frac{\infty}{\infty}\},\;\;\;\{\frac{0}{0}\},\;\;\;\{0 \cdot \infty\},\;\;\;\{\infty-\infty\},\;\;\;\{1^\infty\},\;\;\;\{0^0\},\;\;\;\{\infty^0\}$

В ході перетворень невизначенности прийнято позначати в фігурних лапках, а процес обчислення виразу, що містить невизначенність називається розкриттям невизначенності.

З першою з наведених невизначенностей ми мали справу при обчисленні границь послідовностей, що мають вигляд відношення многочленів. Методом розкриття такої невизначенності було ділення чисельника і знаменника дробу на найпотужніший, в сенсі прямування до нескінченності, член.Таким чином ми позбувались причини, що створює нескінченногсті в чисельнику і знаменнику.

Схожий підхід можна використати і при розкритті невизначенності $\{\frac{0}{0}\}$, коли в чисельнику і знаменнику стоять алгебраїчні вирази. Тільки позбуватись тепер треба множника, що прямує до нуля, наявність якого і в чисельнику і в знаменнику створює невизначенність.

Приклад 2. Обчислити границю $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}$.

Підставляючи одиницю замість $x$, і в чисельнику і в знаменнику отримаємо 0, тобто маємо невизначенність $\{\frac{0}{0}\}$.

Розкладеми вирази в чисельнику і знаменнику на множники.

$\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\{\frac{0}{0}\}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}$

Тепер видно, що нулі в чисельнику і знаменнику при $x\to 1$ створює множник $(x-1)$, на який ми і скоротимо даний дріб, після чого легко отримується результат .

$\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-2)}{(x+1)}=-\frac{1}{2}$

Відповідь: $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=-\frac{1}{2}$.

Зауваження. Ділити чисельник і знаменник на множник, що дорівнює нулю не можна! Але, в нашому випадку множник не дорівнює нулю. Він тільки прямує до нуля, наближується скільзавгодно близько, але не дорівнює.

У випадку, коли вирази містять корені, виділення нульового множника не таке очевидне, але часто допомагає множення на спряжене.

Приклад 3. Обчислити границю $\lim\limits_{x\to 2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{1-\sqrt{x-1}}$.

Розв’язання.

Підставляючи замість $x$ одиницю, впевнюємось, що маємо невизначенність $\{\frac{0}{0}\}$. Домножимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений до чисельника. Використовуючи формулу різниці квадратів, тримаємо