8.4.Використання нескінченно малих для обчислення границь.

Означення і властивості нескінченно малих.

Означення 1. Функція  \alpha(x) називається нескінченно малою величиною при x\to x_0, якщо \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x) =0

Наприклад, x^2 є нескінченно малою при x\to 0, а \cos x - нескінченно мала при x\to \frac{\pi}{2}.

Властивості нескінченно малих.

1. Сума нескінченно малих є нескінченно мала.

2. Добуток нескінченно малих є нескінченно мала.

3. Добуток нескінченно малої і обмеженої в околі точки x_0 є нескінченно мала.

4. Обернена до нескінченно малої є нескінченно велика, тобто величина, що прямує до нескінченності. І навпаки, обернена до нескінченно великої є нескінченно мала.

\alpha(x)\to 0\;\;\Rightarrow\;\;\frac{1}{\alpha(x)}\to\infty

 \beta(x)\to \infty\;\;\Rightarrow\;\;\frac{1}{\beta(x)}\to0

Порівняння нескінченно малих.

Означення 2. Нескінченно мала  \alpha(x) називається нескінченно малою, порядку малості вищого порівняно з нескінченно малою  \beta(x) при x\to x_0, якщо

\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} =0

При цьому величина  \beta(x) називається величиною порядку малості нижчого порівняно з нескінченно малою  \alpha(x) .

Означення 3. Нескінченно малі  \alpha(x) і  \beta(x) називаються нескінченно малими, одного порядку малості при x\to x_0, якщо

\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} =k

Так, x^2 і  3x^2 є величини одного порядку малості при x\to 0.

Означення 4. Нескінченно малі  \alpha(x) і  \beta(x) називаються еквівалентними нескінченно малими, при x\to x_0, якщо

\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} =1

Пишуть \alpha \sim \beta при x\to x_0.

Останнім поняттям можна користуватись для обчислення границь, замінюючи одні нескінченно малі на їм еквівалентні. Сформулюємо це твердження у вигляди теореми.

Теорема. Нехай f \sim f_1 а g \sim g_1 при x\to x_0. Тоді

\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f_1(x)}{g_1(x)}.

Для використання цієї тереми корисним є ланцюжок еквівалентностей при x\to 0

x \sim \sin x \sim tg x \sim arcsin x \sim arctg x \sim \ln(1+x) \sim e^x-1.

Приклад.

 \lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln(1+2x^2)}{\sin^2x}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{2x^2}{x^2}=2.

Ми просто скористались тим, що \ln(1+2x^2) \sim 2x^2 a \sin x \sim x.

Зауваження. Теорему можна використовувати тільки для заміни цілого чисельника та/або знаменника, а не їх частин, на їм еквівалентні.

Так в прикладі \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x-x^2}{x^3} не можна сінус заміняти на x.

Последнее изменение: Monday, 19 September 2016, 15:06