8.6.Класифікація точок розриву.

Якщо в якійсь точці x_0 функція y=f(x) не є неперервною, вона називається розривною в цій точці, а сама точка x_0 називається точкою розриву.

Як було раніше сформульовано, функція буде неперервною в точці x_0, якщо існують обидві скінченні односторонні границі і вони обидві дорівнюють значенню функції в точці x_0.

f(x_0-0)=f(x_0+0)=f(x_0)

Таким чином, функція буде розривною в точці x_0 коли або принаймні одна з односторонніх границь не існує чи нескінченна, або вони не дорівнюють між собою, або, нарешті, вони не дорівнюють значенню функції в цій точці.

В залежності від того, яка з умов порушується, точки розриву класифікуються на точки розриву першого і другого роду.

Означення. Точка розриву x_0 називається точкою розриву функції f(x) першого роду, якщо в цій точці існують і скінченні обидві односторонні границі.

Коментуючи означення, відмітимо, що, оскільки x_0 все ж точка розриву, ці односторонні границі або не дорвнюють одна одній (Рис.1),

f(x_0-0) \ne f(x_0+0)

або вони, будучи рівними, не співпадають зі значенням функції (Рис.2)

f(x_0-0)=f(x_0+0)\ne f(x_0).

В першому випадку з точкою розриву пов'язують стрибок функції в цій точці

d=f(x_0+0) - f(x_0-0)\ne 0,

а в другому розрив називається усувним: його можна "усунути" шляхом перевизначення або довизначення функції в точці x_0, як кажуть, за неперервністю, поклавши f(x_0) дорівнюючим спільному значенню односторонніх границь.Правда, при цьому отримуємо вже іншу функцію, що відрізніється від даної в точці x_0.

discont_1 discont_0 discont-2
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Решта точок розриву відноситься до другого роду. Отже, до точок розриву другого роду належать точки, в яких фунція має нескінченні односторонні границі (хоча б одну)(Рис.3), або не має хоча б однієї односторонньої границі взагалі.

Як правило, в точках розриву другого роду функція має вертикальну асимптоту.

Última modificación: Monday, 19 de September de 2016, 15:41