Математика-ВАВ ...

Якщо в якійсь точці $x_0$ функція $y=f(x)$ не є неперервною, вона називається розривною в цій точці, а сама точка $x_0$ називається точкою розриву.

Як було раніше сформульовано, функція буде неперервною в точці $x_0$, якщо існують обидві скінченні односторонні границі і вони обидві дорівнюють значенню функції в точці $x_0$.

$f(x_0-0)=f(x_0+0)=f(x_0)$

Таким чином, функція буде розривною в точці $x_0$ коли або принаймні одна з односторонніх границь не існує чи нескінченна, або вони не дорівнюють між собою, або, нарешті, вони не дорівнюють значенню функції в цій точці.

В залежності від того, яка з умов порушується, точки розриву класифікуються на точки розриву першого і другого роду.

Означення. Точка розриву $x_0$ називається точкою розриву функції $f(x)$ першого роду, якщо в цій точці існують і скінченні обидві односторонні границі.

Коментуючи означення, відмітимо, що, оскільки $x_0$ все ж точка розриву, ці односторонні границі або не дорвнюють одна одній (Рис.1),

$f(x_0-0) \ne f(x_0+0)$

або вони, будучи рівними, не співпадають зі значенням функції (Рис.2)

$f(x_0-0)=f(x_0+0)\ne f(x_0)$.

В першому випадку з точкою розриву пов'язують стрибок функції в цій точці

$d=f(x_0+0) - f(x_0-0)\ne 0$,

а в другому розрив називається усувним: його можна "усунути" шляхом перевизначення або довизначення функції в точці $x_0$, як кажуть, за неперервністю, поклавши $f(x_0)$ дорівнюючим спільному значенню односторонніх границь.Правда, при цьому отримуємо вже іншу функцію, що відрізніється від даної в точці $x_0$.

Рис. 1	Рис. 2	Рис. 3

Решта точок розриву відноситься до другого роду. Отже, до точок розриву другого роду належать точки, в яких фунція має нескінченні односторонні границі (хоча б одну)(Рис.3), або не має хоча б однієї односторонньої границі взагалі.

Як правило, в точках розриву другого роду функція має вертикальну асимптоту.