Додаткові розділи математичної логіки

Математична логіка, загальна алгебра, дискретна математика довгий час вважались абстрактними областями математики й не були популярними. Докорінно все змінилось після створення швидких обчислювальних машин. Ці розділи математики набули практичного сенсу - створення алгоритмічних мов для написання програм для ЕОМ, дослідження решіток, цілочислове програмування.

Одним із найцікавіших і водночас дуже важливим розділом математичної логіки є дослідження правильності міркувань. Нагадаємо, що під міркуванням розуміють виведення з деякої вихідної сукупності тверджень (посилок, гіпотез) нового твердження (висновку). Фундаментальний принцип логіки полягає в тому, що в правильному міркуванні з істинності посилок не може випливати хибний висновок. Але істинність посилок є необхідною, але не достатньою умовою правильності міркування.

Спробуйте перевірити себе, чи зможете ви дослідити наступні міркування на правильність.

1)                Я піду на лекцію або залишуся і вип’ю кави. Я не піду на лекцію. Отже, я залишуся і вип’ю кави.

2)                Якщо число Х закінчується двома нулями, то воно ділиться на 4. Число Х ділиться на 4. Отже, воно закінчується двома нулями.

Звісно, для переконливої відповіді недостатньо лише нашої інтуїції, бо мова йде не лише про зміст, а й про форму міркування. Математична логіка надає необхідні інструменти. Треба «змоделювати міркування», записати його у вигляді логічної формули й досліджувати саме цю формулу. Звісно, що фахівцю будь-якої галузі такі навички не будуть зайвими, а про математиків нічого й говорити.

А ще ми звикли, що кожне висловлювання може «набувати два значення» - бути або істинним, або хибним. Так відбувається у двозначній математичній логіці. Але іноді зручно вважати, що таких значень більше, наприклад, три. Тоді матимемо справу з тризначною логікою. І зрозуміло, що кожен математик одразу подумає і про k-значну логіку.