Анотація
Поняття групи виникло у 18 ст. Особливо відмічають досягнення Е.
Галуа в теорії груп. Він застосовував властивості груп для дослідження існування розв’язків у радикалах рівнянь. При дослідженні геометричних фігур розглядаються перетворення площини або простору, які одні фігури перетворюють в інші. Приклади таких перетворень відомі з школи: повороти, центральні симетрії, осьові симетрії. Виявляється, що з перетвореннями пов’язане поняття групи. Ф. Клейн навіть запропонував покласти в основу класифікації геометрій поняття групи. В теперішній час теорія груп є однією з розвинених галузей алгебри, яка має численні застосування як в самій математиці, так і за її межами. Наведемо кілька прикладів. Фізичні факти про симетрію кристалів та молекул, про магнітну симетрію, про фізику ядра та елементарних часток та ін. За допомогою властивостей груп можна обґрунтувати деякі методи розв’язання задач, наприклад, один з методів розв’язання функціональних рівнянь. Група перестановок допомогла дати аналіз «гри в 15», про яку відомо кожному ще з дитинства і яку довго не вдавалося дослідити, незважаючи на великі зусилля та великі премії, що пропонувались за успіх. З психологією тісно пов’язана соціоніка – наука про типи людей та типи взаємовідносин між ними. Розглядаючи типологію я математичний об’єкт, можна встановити групові властивості ознак, які визначають типи людей.
Теорія кілець – це розділ алгебри, який тісно пов’язаний з іншими математичними дисциплінами: теорією чисел, теорією кодування, вищою геометрією, лінійною алгеброю. Теорія кілець є невичерпним джерелом для формулювання дослідницьких задач, які можна ставити перед студентами в рамках підготовки випускних робіт. Одним з важливіших прикладів кілець є множина цілих чисел відносно операцій додавання та множення. Використання цього факту дозволяє узагальнити деякі результати, з якими ви познайомились в теорії чисел. Майже всі результати з теорій многочленів та матриць, які вивчались в курсах алгебри та теорії чисел, лінійної алгебри, можна сформулювати в термінах кілець. Це дозволяє подивитись на ці результати з іншого боку і тим самим глибше усвідомити їх. Конструкції теорії кілець, з якими можна познайомитись в цьому курсі, є корисними як для потреб самої математики, так і мають численні застосування в різних галузях знань.