Варіаційне числення ...

 

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ II. Інтеграл. Диференціальні рівняння. Елементи теорії ймовірностей

 

Зміст

Тема 1. Інтеграл  1

Первісн та невизначений  інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла  1

Методи знаходження невизначених інтегралів  4

Означення та властивості визначеного інтеграла  5

Теорема та формула Ньютона-Лейбница. Методи обчислення  11

визначених інтегралів  11

Тема 2. Диференціальні рівняння  14

Диференцiальнi рівняння, поняття та види  14

Диференціальним рівняння першого порядка. Задача та теорема Коші 15

Види та методи розв’язання диференцiальних рiвнянь першого порядку  17

Тема 3. Елементи теорії ймовірностей  19

Означення ймовірності та її властивості 19

Сума подій. Теореми додавання та множення ймовірностей  24

Види випадкових величин, їх числові характеристики  30

Закони розподілу дискретної випадкової величини. 34

Інтегральна та диференціальна функція розподілу ймовірностей випадкових величин  35

 

 

Тема 1. Інтеграл

 

Первісн та невизначений  інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла

 

Диференціал функції та його властивості

Диференціалом (першого порядку) функції називається головна частина її збільшення, лінійна щодо збільшення аргументу.

Диференціалом аргументу називається збільшення аргументу: . Диференціал функції дорівнює добуткові її похідної на диференціал аргументу:

 

Основні властивості диференціала.

 

 

Якщо збільшення  аргументу мало за абсолютною величиною, то  й

 

 або ,

 

тобто диференціал функції може застосовуватися для наближених обчислень

 

Поняття первісної і невизначеного інтеграла

 

Означення. Функція  називається первісноїю для функції  на інтервалі , якщо у всіх точках цього інтервалу виконується рівність:

 

 або   (1)

 

З розглянутого приклада видно, що якщо для  існує первісна, то вона не єдина, і усі вони відрізняються друг від друга на постійне число. Тоді справедлива теорема.

Теорема. Якщо  - первісна функція для функції  на інтервалі , то безліч усіх первісних цієї функції має вигляд:

 

де C - довільне число.

Означення. Сукупність усіх первісних  функцій  на інтервалі  називається невизначеним інтегралом від функції  на цьому інтервалі і позначається символом

   (2)

 

Функція  називається підінтегральною функцією,  - підінтегральним виразом,  знаком невизначеного інтеграла,  - змінною інтегрування.

Геометрично невизначений інтеграл  являє собою сімейство так званих інтегральних кривих на площині .

 

Для того, щоб з цього сімейства виділити одну конкретну інтегральну криву, треба на площині  задати точку  і визначити ,  .

Операція, за допомогою якої ми знаходимо за даною функцією  її первісну, називається інтегруванням. Ця операція є зворотною операції диференціювання. Розділи математичного аналізу, які вивчають методи знаходження первісних та їх застосування, називається інтегральним численням.

 

Властивості невизначених інтегралів

 

З визначення первісної (1) і невизначеного інтеграла (2) випливають наступні властивості невизначених інтегралів.

1.   Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції, тобто

 

 

дійсно, з визначення невизначеного інтеграла (2) маємо ,

де  первісна функція , тобто , тоді

 

 

2.   Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

 

 

Дійсно,

 

3.   Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільного постійного, тобто:

 

 

Дійсно, тому що , те

 

 

4.   Постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла, тобто:

 

, де .

 

Дійсно, візьмемо диференціали обох частин:

 

  .

 

Якщо диференціали рівні, то рівні і їхні невизначені інтеграли, тому що довільну постійну можна вважати включеної до складу невизначеного інтеграла.

 

Таблиця основних інтегралів

 

 

Інтеграли, які містяться в цій таблиці, називають табличними.

 

Методи знаходження невизначених інтегралів

 

Безпосереднє інтегрування

Використовуючи таблицю і властивості невизначених інтегралів можна інтегрувати деякі елементарні функції.

1.                       

2.

5.

6..

 

Метод компенсуючого множника

 

Если  тоді

1.

2.

3. .

4.

5.

6.

 

Метод розкладання базується на лінійності як  властивості невизначених

 

 

 

Для того, щоб в прикладах застосувати правило 5, деякі співмножники підінтегральної функції ми «підводили» під знак диференціала, після чого використовували відповідний табличний інтеграл. Таке перетворення називається підведенням під знак диференціала. Так, наприклад, для будь-якої функції , що диференціюється, маємо

 

 

 

  Коли степінь чисельника більша ніж степінь знаменника треба розділити чисельник підінтегральної функції на її знаменник до отримання залишку, степінь якого менше ступеня знаменника. Це дозволить представити підінтегральну функцію у вигляді суми цілого многочлена і правильного дробу. Виконавши необхідні перетворення, одержимо:

 

 

Означення та властивості визначеного інтеграла

 

Задача, що приводить до поняття визначеного інтеграла

 

Розглянемо задачу, що приводить до поняття визначеного інтеграла.

Обчислення площі криволінійної трапеції.

Нехай  неперервна функція на інтервалі [a,b].

Криволінійною трапецією називається фігура аАВв, обмежена віссю OX, графіком функції  і крайніх координат x=a, x=b. Потрібно обчислити її  площу S.

Для того, щоб обчислити площу S розіб'ємо інтервал [a,b] довільним образом на n частин X₁, X₂ …X_n-1... Через точки розподілу проведемо відповідні ординати. Тоді площа S розіб'ється на n маленьких криволінійних трапецій і сума площ цих маленьких трапецій дорівнює площі трапецій аАВв, тобто, говорять, площа має властивість аддитивности. Позначимо через  основи маленьких трапецій. Площі маленьких криволінійних трапецій ми також не вміємо обчислювати. Обчислимо їх приблизно. Замінимо кожну маленьку криволінійну трапецію прямокутником з тією же основою і якоюсь середньою висотою , де  – будь-які точки з інтервалів [x_i – х_i-1](і=1,…,n)... Тоді одержимо східчасту фігуру, площу якої позначимо через S_n.

 

                           (1)

 

Очевидно, чим більше n і менше , тим точніше сума (1) визначає площу S криволінійної трапеції аАВв.

Щоб одержати точну формулу для обчислення площі S, перейдемо в (1) до границі, коли , тоді одержимо

 

                                               (2)

 

Таким чином, задача обчислення площі криволінійної трапеції привела до обчислення границі суми визначеної природи, число доданків якої прагне до , а кожен доданок прагне до нуля.

 

 Інтегральні суми. Означення визначеного інтеграла

 

Відволікаємось тепер від фізичного, геометричного змісту змінних і розглянемо абстрактну неперервну функцію на інтервалі [a,b]. Тепер формально зробимо ті ж операції, що й у розглянутій задачі, тобто

1) розіб'ємо інтервал [a,b] довільним образом на n частин точками X₁, X₂ …X_n-1..., одержимо n маленьких інтервалів

2) усередині кожного інтервала ∆х_і візьмемо точки С_i й обчислимо значення функції f(x) у цих точках

3) складемо суму добутків  і відповідних ∆х_і, тобто

 

                            (3)

 

Суми виду (3) називаються інтегральними сумами для функції f(x) Перейдемо в (3) до границі, коли .

Означення. Визначеним інтегралом від даної неперервної функції f(x) на інтервалі [a,b] називається границя послідовності відповідних інтегральних сум (3), коли  і позначається символом:

 

                    (4)

 

читається так, визначений інтеграл від a до b від f(x) на dx.

a і b називаються відповідно нижніми і верхніми межами інтегрування. f(x) – підентегральна функція, f(x)dx – підентегральний вираз, x – змінна інтегрування.

Визначений інтеграл залежить від меж інтегрування a, b і від підентегральної функції f(x) і не залежить від змінної інтегрування, тобто

 

 

Виходячи з означення визначеного інтеграла (3) формули (2) задачі 1 маємо

                              (5)

 

З (5) випливає геометричний зміст визначеного інтеграла.

Визначений інтеграл  чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої підентегральною функцією.

З визначення визначеного інтеграла (3) виникає питання, для чи будь-якої функції можна побудувати визначений інтеграл на інтервалі [a,b], тобто можливо завжди знайти грницю послідовності відповідних інтегральних сум (3) Відповідь дає теорема існування визначеного інтеграла, яку приймаємо без доказу.

Теорема (існування невизначеного інтеграла). Для всякої обмеженої на інтервалі [a,b] функції f(x), що має лише скінчене число точок розриву першого роду, існує границя послідовності відповідних інтегральних сум і вона не залежить ні від способу розбивки інтервалу [a,b] на інтервали  ні від вибору точок С_i усередині кожної з них.

З цієї теореми випливає, що всяка неперервна функція має визначений інтеграл.

 

Основні властивості визначених інтегралів

 

З визначення визначеного інтеграла (3) і формули Ньютона-Лейбница (12) випливають наступні властивості визначених інтегралів.

1.         Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:

 

, де .

 

Дійсно, з означення визначеного інтеграла маємо:

 

,

 

так як постійний множник можна виносити за знак границі.

2. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми кінцевого числа функції дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від цих же функцій, тобто:

 

 

Доведення аналогічне, тільки треба скористатися теоремою, що границяа суми дорівнює сумі границь.

3. Якщо поміняти місцями верхню і нижню межі інтегрування, то визначений інтеграл змінить тільки знак, тобто

 

.

 

Дійсно, з формули Ньютона-Лейбница випливає:

 

.

 

4. Якщо інтервал інтегрування [a,b] розбити деякою точкою С на два [a,c] [c,b], то

 

Дійсно, з формули Ньютона-Лейбница випливає:

 

.

 

1.                     Якщо функція  то

 

   .

 

Дійсно, нехай  на інтервалі [a,b], тоді за означенням визначеного інтеграла:

 

 

але за умовою всі  і , те і , а значить і .

 

Аналогічно доводиться випадок, коли f(x)£0 на [a,b].

  Якщо функція f(x)і j(x) задовольняють нерівності f(x)³j(x), для будь-якого  то і

 

.

 

Дійсно, тому що , то в силу властивості 5:

 

,

 

а за властивістю 2:

 

звідки

.

 

  Дуже корисні для практики обчислення визначених інтегралів ще наступні властивості:

 

7.

  Цю властивість проілюструємо геометрично, виходячи з геометричного змісту інтеграла. Як площа криволінійної трапеції.

 

f(x) – парна функція:

f(x) – непарна функція:, дійсно,

 

8. Якщо f(x)періодична функція, періоду 2Т, тобто , то

 

, де .

 

Цю властивість також можна проілюструвати геометрично, виходячи з геометричного змісту визначеного інтеграла.

Площі криволінійний трапецій на інтервалі [-T,T] і інтервалі [a;a+2T] будуть рівні.

Теорема про середнє значення

Теоремою про середнє значення є теорема Лагранжа. Якщо функція y=f(x) неперервна на [a,b] і диференційована на ]a,b[, то усередині інтервалу ]a,b[ найдеться така точка С, така що , a<c<b.

 

Теорема. Якщо функція f(x) неперервна на [a,b], то усередині інтеграла ]a,b[ найдеться хоч одна така точка ]a,b[, що

                       (13)

Теорема про середнє значення має просте геометричне тлумачення виходячи з геометричного змісту визначеного інтеграла, як площі криволінійної трапеції обмеженої підентегральною функцією, ліворуч у формулі (13) є площа криволінійної трапеції аАВв. А праворуч є площа прямокутника з тією же основою із середньою висотою f(c). Тоді з (13) випливає, що площа криволінійної трапеції аАВв рівновелика площі прямокутника  аАВв із тією же основою і із середньою висотою f(c), де a<c<b.

З (13) знайдемо f(c)

                                              (14)

 

f(c) – називається середнім значенням функції f(x) на інтервалі [a,b] і є узагальненням середнього арифметичного значення дискретної величини на неперервно розподілену в інтервалі [a,b] величину.

Приклад 1. Знайти середнє значення напруги змінного струму

за напівперіод  (Т=0,02с)

Рішення за формулою (14)

Приклад 2. Знайти середнє значення функції y=x² на інтервалі [1,2] рішення:

 

.

 

Теорема та формула Ньютона-Лейбница. Методи обчислення

 визначених інтегралів

 

Безпосереднє обчислення визначеного інтеграла, як границі відповідної інтегральної суми, навіть для простих функцій важко. Одержимо загальну формулу обчислення визначеного інтеграла і тим самим установимо тісний зв'язок між невизначеним і визначеним інтегралами. Цей зв'язок установлюється теоремою Ньютона-Лейбница.

 

Теорема Ньютона – Лейбница. Визначений інтеграл від неперервної функції дорівнює різниці будь-який її первісної, обчисленої при значенні верхньої і нижньої меж інтегрування, тобто

                          (6)

 

Доведення. Нехай f(x) – неперервна на [a,b] функція і нехай F(x) - первісна, тобто . Розглянемо визначений інтеграл зі змінною верхньою межею

                                                        (7)

на підставі вище доведеної теореми

 

                                                        (8)

 

Віднімаючи з (8) (7), одержимо  або , звідкіля випливає , де С – довільне число, а

 

                                                    (9)

 

Підставляючи в (7) значення функції Ф(х) з (9), одержимо

 

                                            (10)

 

для визначення С покладемо х=а, тоді

 

 

тоді співвідношення (10) запишеться у виді       

                                     (11)

 

покладемо у (11) Х=у, а t=x, тоді

 

  або           (12)

де  знак подвійної підстановки.

 

Формула (12) називається формулою Ньютона-Лейбница.

З формули Ньютона-Лейбница випливає, що для того щоб обчислити визначений інтеграл треба спочатку обчислити невизначений інтеграл, потім у первісну замість змінної підставити значення верхньої, потім нижньої межі інтегрування і з першого результату відняти другий.

Приклад.  

 

Методи обчислення визначених інтегралів

  Основними методами обчислення невизначених інтегралів є: метод заміни змінної і метод інтегрування частинами. Розглянемо це методи і для обчислення визначених інтегралів.

 

Заміна змінної у визначеному інтегралі

Нехай потрібно обчислити визначений інтеграл  де f(x) – неперервна на інтервалі [a,b] функція і нехай він не табличний. Зробимо заміну змінної , тоді: якщо функція  неперервно диференціойвана на інтервалі [t₁,t₂] і  , тобто якщо зміна t пробігає інтервал [t₁,t₂], де Х пробігає інтервал [a,b] і функція неперервна на [t₁,t₂], тобто

 

                              (15)

 

Формула (15) називається формулою заміни змінної у визначеному інтегралі.

Приклад. Обчислити визначений інтеграл.

Рішення: обчислимо цей інтеграл методом заміни змінної:

 

 

Зауваження. З формули (15) і розглянутого приклада випливає, що при обчисленні визначеного інтеграла методом заміни змінної до старої змінної не повертаються, тому що досить визначити нові межі інтегрування для змінної t, тому що у формулі (15) ліворуч і праворуч інтеграла рівні тому самому числу.

 

Метод інтегрування частинами

 

Нехай U=U(x) і V=V(x) – неперервні функції на інтервалі [a,b]. Знайдемо диференціал добутку функції і UV:

 

,

 

відкіля, наприклад, UdV=d(U•V) – VdU проінтегрируємо обидві частини в межах від a до b

 

. або          (16)

 

формула (16) називається формулою  інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Приклад. Обчислити

Рішення Обчислимо інтеграл методом інтегрування частинами:

 

Питання для самоконтролю

1.                     Сформулюйте поняття диференціала функції аргумента

2.                     Дайте поняття первісної функції.

3.                     Дайте означення невизначеного інтеграла

4.                     Назвіть основні властивості невизначених інтегралів.

5.                     Назвіть методи знаходження невизначених інтегралів.

6.                     Сформулюйте задачу, що приводить до поняття визначеного інтеграла.

7.                     Сформулюйте поняття інтегральних сум.

8.                     Дайте означення визначеного інтеграла.

9.                     Запишіть формулу Ньютона-Лейбница

10.                 Назвіть основні властивості визначених інтегралів.

11.                 Сформулюйте теорему про середнє значення.

12.                 Виведіть формулу заміни змінної в визначеному інтегралі.

13.                 Виведіть формулу інтегрування частинами.

 

Тема 2. Диференціальні рівняння

 

Диференцiальнi рівняння, поняття та види

Види та методи розв’язання диференцiальних рiвнянь першого порядку

 

Література: [1] §1-8 гл.13, т.2; [2] §1.1.-1.9. гл. 8.

 

Диференцiальнi рівняння, поняття та види

 

Основні поняття і теореми

При дослідженні різних процесів або явищ, що містять елементи руху (нестаціонарні, динамічні процеси), часто користуються математичними моделями у виді рівнянь, у які, крім незалежних величин і залежних від них шуканих функцій, входять також похiднi від шуканих функцій. Такі рівняння називають диференціальними (термін «Диференцiальнi рiвняння» введений у 1576р. Лейбницем)

Диференцiальнi рiвняння називаються звичайними, якщо невідома функція є функція однієї змінної, та диференціальним рівнянням у частинних похідних, якщо невідома функція є функція декількох змінних.

 

Означення. Диференціальним називають рівняння, що зв'язує шукану функцію , незалежну перемінну (аргумент), а також похідні цієї функції або диференціали цих змінних.

Символічно диференцiальнi рiвняння можна записати у виді:

 

- д/р у неявному виді      (1) 

 

- д/р у явному виді.

 

Означення. Порядком диференцiальнi рiвняння називають порядок старшої похідної або диференціала, що входять у це рівняння.

  1) - диференцiальнi рiвняння першого порядку

  2) - диференцiальнi рiвняння третього порядку

  3) - диференцiальнi рiвняння першого порядку

(1)      - - диференцiальнi рiвняння n-го порядку

Означення. Рішенням диференцiального рiвняння називається будь-яка функція , що будучи підставлена в рівняння (1), обертає його в тотожність.

Приклад. Показати, що функція  є рішенням диференціального рівняння .

; ; 0=0  рішення рівняння.

Можна показати, що рішенням цього рівняння є функція , де - похідна постійна.

Маємо , при кожнім рішення рівняння.

Із приклада видно, що диференціальне рівняння може мати нескінченну безліч рішень. Головною задачею теорії диференціальних рівнянь є доказ того, що вони мають рішення, а потім – опис усіх рішень, а також встановлення умов, при яких рівняння однозначно дозволені.

  Зокрема, при С=2 одержимо  рішення .

  Вибираючи певним чином постійну С, за умови неперервності функції  можна одержати будь-яке рішення цього рівняння.

 

Диференціальним рівняння першого порядка. Задача та теорема Коші

Диференціальним рівнянням першого порядка називається рівняння виду :

 

,                                      (2)

 

яке зв'язує невідому змінну х, невідому функцію і її похідну .

Якщо рівняння (2) можна дозволити відносно , то його записують у виді:

 

              (3)  або

,

 

,

де - відомі функції.

Наприклад: , ,

 

Розв’язати або проiнтегрувати дане диференціальне рівняння – значить знайти всi його рішення в заданій області. Графіком рішення диференцiального рiвняння називають інтегральну криву цього рівняння.

Відповідь на питання про те, при яких умовах рівняння (2) має рішення, дає теорема Коші.

Теорема ( про існування й єдність рішення диференцiального рiвняння).

Нехай функція і її частинна похідна  визначені і неперервні у відкритій області Д, що містить точку . Тоді існує єдине рішення   рівняння(2), що задовольняє умові:

 

при , тобто                (4)

 

  Ця теорема дає достатні умови існування єдиного рішення рівняння (2).

  Геометрично теорема Коші затверджує, що через кожну точку проходить єдина крива. Якщо зафіксувати  і змінювати , не виходячи при цьому з області Д, то будемо одержувати різні інтегральні криві. Це наочно показує, що рівняння (2) має нескінчену безліч рішень.

  Умова (4), відповідно до якого рішення приймає наперед задане значення  в заданій точці , називають початковою умовою рішення і записують так:

 або                        (5)

 

Задача знаходження рішення рівняння (2), що задовольняє початковій умові (5), називають задачею Коші .

З погляду геометрії, розв’язати задачу Коши - це означає виділити з безлічі інтегральних кривих ту, яка проходить через задану точку .

Точки площини, у яких не виконуються умови теореми Коші (наприклад,   або  в цих точках є розривною), називаються особливими. Через кожну з таких точок, проходить трохи інтегральних кривих або не проходить не однієї.

Рішення диференціального рівняння, у кожній точці якого порушується умова єдності, називається особливим рішенням .

Графік особливого рішення називається особливою інтегральною кривою.

Нехай права частина диференціального рівняння  (2) задовольняє в деякій області Д умові теореми Коші.

Функція , що залежить від аргументу х і довільної постійної С, називається загальним рішенням рівняння (2) в області G, якщо вона задовольняє умовам:

1)                    функція  є рішенням рівняння при якому-небудь значенні постійної С з деякої безлічі;

2)                    для довільної точки можна знайти таке значення С=С₀, то функція задовольняє початковій умові ;

Частинним розв’язком рівняння (2) називається функція , що утвориться з загального рішення  при визначеному значенні постійної С=С₀.

Якщо загальне рішення диференціального рівняння знайдено в неявному виді, тобто у виді рівняння , то таке рішення називають загальним рішенням диференціального рівняння.

  Рівність

 

у цьому випадку називають частинним інтегральним рівнянням.

 

Розв’язання практичних задач за допомогою диференцiальних рiвнянь першого порядку

 

Види та методи розв’язання диференцiальних рiвнянь першого порядку

 

Задача. (Про радіоактивний розпад) Експериментально встановлено, що швидкість радіоактивного розпаду речовини пропорційна її кількості в даний момент часу. Указати закон зміни маси речовини від години, якщо при t=0 маса речовини дорівнювала m₀.

Нехай m=m(t)- маса речовини в момент години t.

За умовою

 m(0)=m₀

 

де k- коефіцієнт пропорційності. Знак мінус береться тому, що з часом кількість речовини зменшується. Розв’язуючи знайдене рівняння , отримуємо:

 

.

 

Задача. (Про охолодження тіла.) Згідно з законом Ньютона, швидкість охолодження тіла пропорційна різниці між температурою тіла і температурою навколишнього середовища.

  Відомо, що нагріте до температури Т₀ тіло помістили в середовище, температура якого стала і дорівнює Т₁ ( ). Знайти залежність температури тіла від часу.

Нехай у момент години t температура Т тіла дорівнює Т(t). За умовою

 

 

(знак мінус вказує на зменшення температури). Відокремлюючи змінні та інтегруючи, маємо:

 

 

Завдання для самоконтролю

 

1.                     Що називається диференціальним рівнянням?

2.                     Що називається порядком диференціального рівняння?

3.                     Що називається розв'язком диференціального рівняння?

4.                     Сформулювати теорему Коші про існування та єдність розв'язку рівняння першого порядку.

5.                     Дати означення загального і частинного розв'язків диференціального рівняння першого порядку. У чому полягає геометричний зміст цих зрозуміти?

6.                     Що таке особливий розв'язок диференціального рівняння? Який його геометричний зміст?

7.                     У чому полягає геометричний зміст рівняння ?

8.                     Що називається диференціальним рівнянням першого порядку?

9.                     Дати означення рівняння з відокремлюваними змінними. Як воно розв'язується?

10.                 Розв’язати рівняння:

а.                     ;

б.                     ;

в.                     ;

г.                      ;

д.                     ;

е.                    

11.                 Через який час температура тіла знизиться до 30^оС, якщо температура повітря 20^оС і тіло за 20 хв.охолоджується від 100 до 60 ^оС? . (Відповідь: 60 хв.)

12.                  За який час витече вода через отвір площею 0,5 см² на дні конічної лійки висотою 10 см і кутом при вершині 60^о? . (Відповідь: 12,5 с.)

  Вказівка. Швидкість v витікання води з отвору, що знаходиться на відстані h від поверхні, знаходиться за формулою , де g – прискорення сили тяжіння.

Відповіді: 8.

а.           

б.        

в.          ;

г.          ;

д.        

е.          .

 

Тема 3. Елементи теорії ймовірностей

 

Означення ймовірності та її властивості.

Сума та добуток подій. Теореми додавання та множення ймовірностей.

Види випадкових величин, їх числові характеристики.

Закони розподілу дискретної випадкової величини. Многокутник розподілу.

Інтегральна та диференціальна функція розподілу ймовірностей випадкових величин

 

Означення ймовірності та її властивості

 

Загальні відомості. Коротка історична справка

Під час вивчення явищ природи і суспільства в загальному випадку ми не маємо можливості врахувати всю різноманітність їх причинно-наслідкових зв’язків, а виділяємо тільки найсуттєвіші. Отже,  в загальному випадку ми не можемо передбачити всіх особливостей явищ, і при багатократному повторенні вони кожен раз відбуватимуться по-різному. Такі явища називаються випадковими явищами. Те що випадкові явища являють собою не виключення, а правилом в реальному світі було замічено ще в далекій давнині. Початком систематичного вивчення випадкових явищ відноситься до XVII віку. Знаменитий Галілей на початку століття намагався піддати математичному дослідженню похибки фізичних вимірів, розглядаючи їх як випадкові явища. До цього часу також відносяться намагання створити теорію страхування, яка ґрунтується на аналізі таких випадкових явищ, як захворювання, смертність, нещасні випадки. Спостерігаючи ці випадкові явища в масових явищах, люди помітили, що ці випадкові явища підпорядковуються деяким закономірностям. Отже, виникає необхідність створення спеціальних методів вивчення таких явищ, що задовольняли б вимогам практики. Цими питаннями і займається теорія ймовірностей.

Теорія ймовірностей є розділ математики, який вивчає закономірності в масових випадкових явищах.

Але в 17 столітті задачі, які були зв’язані з випадковими явищами, були дуже тяжкими для того часу. Необхідно було спочатку вивчити закономірності  випадкових явищ на більш простому матеріалі і таким матеріалом стали азартні ігри. В цей час в творах таких учених як Паскаль, Ферма, Гюйгенс основні поняття математичної науки про випадкові явища, являють собою створення теорії азартних ігор.

Один французький вельможа де-Мьоре був пристрасним гравцем в гральний кубик. (А в 17 столітті грали в гральний кубик всі, від піратів до знатних вельмож). Він намагався розбагатіти за допомогою грального кубика і для цього придумував різні ускладнені правила гри, які, як йому здавалось, приведуть його до виграшу. Треба було кидати гральний кубик чотири рази підряд, якщо при цьому випаде хоч один раз шістка, то вигравав де-Мьоре, в іншому разі вигравав супротивник. Він думав, що чим більше буде грати, тим більше буде вигравати. Але все ж таки він звернувся до Паскаля і попросив розрахувати ймовірність виграшу. Ця імовірність була більше . Дійсно, чим більше грав де-Мьоре, тим більше разів вигравав. Тоді супротивники перестали з ним грати. Тоді він придумав нову гру. Два гральних кубика одночасно кидали 24 рази, і якщо випадали одночасно хоч один раз обидві шестірки, то вигравав де-Мьоре. В противному разі вигравав супротивник. І чим більше грав де-Мьоре, тим більше він програвав, тому що ймовірність виграшу в цьому випадку була меншою за

Самим цікавим в цьому історичному факті є те, що завдяки такому своєрідному практичному матеріалу виникла теорія ймовірностей. Математики шуткують з цього приводу, така безглузда гра в гральний кубик спричинила велику і мудру науку, дуже важливу для практичної діяльності людей, але в той же час, така розумна гра в шахи в історії науки не зіграла ніякої ролі (не привела до появи нової науки).

Таким чином, які ж задачі характерні для теорії ймовірностей? Теорія ймовірностей пристосована тільки для дослідження масових випадкових явищ. Вона дає можливості передбачити сумарний результат маси однорідних випадкових явищ. Теорія ймовірностей не дає можливості передбачити результат поодинокого явища, але дає передбачити середній результат маси аналогічних дослідів, результат кожного з котрих залишається випадковим.

 

 Основні поняття теорії ймовірностей

Розглянемо тепер основні поняття теорії ймовірностей, якими ми будемо користуватись. Першим поняттям теорії ймовірностей є поняття випадкової події.

Випадковою подією називається така подія, яка може відбутися або не відбутися в даному експерименті, в даних конкретних умовах.

Наприклад, поява герба при киданні монети. Влучення в ціль при пострілі. Надалі ми випадкові події будемо позначати великими літерами латинського алфавіту А, В, С. Всяка подія відбувається при реалізації деякого певного комплексу умов.

Реалізація комплексу умов, при якому відбувається випадкова подія, називається експериментом, випробовуванням, дослідом.

Наприклад, кидання монети-випробовування , влучення в ціль-випадкова подія. Багаторазове повторення випробовування називається серією випробовувань. Кожне окреме випробовування називається одиничним випробовуванням.

Декілька подій називаються несумісними в даному випробовуванні, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом.

Наприклад, поява герба і цифри при одному киданні, влучення і промах при пострілі - несумісні події.

Декілька подій в даному випробовуванні утворюють повну групу подій, якщо в результаті випробовування хоч одна з них неодмінно повинна відбутися.

Наприклад. Поява цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6 при киданні грального кубика, влучення і промах при пострілі - утворюють повну групу подій.

Декілька подій в даному випробовуванні називаються рівноможливими, якщо ні одна з них не є об’єктивно більш можливою ніж друга.

Кожна рівноможлива подія називається елементарною подією.

Наприклад, поява цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при киданні грального кубика, поява герба і цифри є рівноможливими подіями, якщо кубик і монета геометрично симетричні і центр ваги їх збігається з геометричним центром.

Надалі ми поки обмежимось тільки рівноможливими, попарно-несумісними, які утворюють повну групу подій.

Події, які обов’язково відбуваються в результаті випробовування, називаються достовірними (вирогідними), а події, які не можуть відбутися в результаті випробовування, називаються неможливими.

Наприклад, щоденний схід сонця є подія достовірна. Відкрити книжку на 105 сторінці, яка має 100 сторінок є подія неможлива.

 

Класичне, статистичне, геометричне означення ймовірності та її властивості

 

Кожна подія, відмінна від достовірної і неможливої, має той чи інший ступінь можливості її здійснення. Щоб кількісно порівнювати між собою події за ступенем їх можливості здійснення, треба кожній події дати відповідне число, яке називається математичною ймовірністю події. Таким чином, математична ймовірність є числова міра об’єктивної можливості здійснення цієї події.

Імовірність деякої події А будемо позначати символом Р(А). Імовірність є одним з основних понять теорії ймовірностей. Існує класичне і статистичне означення імовірності.

Якщо результати випробовування можна подати у вигляді повної групи n рівноможливих попарно несумісних випадкових подій і якщо деяка подія А з’являється тільки в m випадках, то ймовірність події А дорівнює відношенню. Звідси класичне означення імовірності.

Імовірність деякої події А є число рівне відношенню числа сприятливих випадків m появи події А до загального числа випадків n , тобто

Р (А)=                  (1)

Приклад. В коробці є 100 авторучок, з них 70 з синьою пастою і 30 – з червоною. Чому дорівнює ймовірність того, що взята навмання авторучка буде з синьою пастою.

Розв’язання. Позначимо через А подію, що взята навмання авторучка з синьою пастою. Тоді маємо число загальних випадків n=100, а сприятливих випадків m=70. За формулою (1), маємо

                                                              .

З означення ймовірності (1) випливають наступні властивості ймовірності:

 

а) імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Справді, якщо подія достовірна, то кожний наслідок випробування сприяє події, тобто m=n і тоді

                                                              .

 

б) імовірність неможливої події дорівнює нулеві.

Дійсно, якщо подія неможлива, то ні один наслідок випробування не сприяє події, тобто m=0, тоді

                                                            

 

в) імовірність випадкової події є додатне число, яке міститься між нулем і одиницею

                                                            

 

Дійсно, так як , то за означенням (1) маємо

 

                                                            

 

Для визначення загального і сприятливого числа випадків часто користуються формулами з теорії сполук.

 

Статистичне означення імовірності

За класичною формулою визначення імовірності  (1) можна визначити ймовірність події тільки тоді, коли події утворюють повну групу n попарно несумісних і рівно можливих подій, тобто коли події мають симетрію можливих вислідив і коли число можливих вислідив n є скінчене число. Якщо ці умови не задовольняються, то ймовірність за формулою (1) обчислити неможливо. Якраз в більшості практичних задач події не мають симетрії можливих вислідив. Але кожна подія має той чи інший ступінь об’єктивної можливості здійснення, який можна виміряти числом, імовірністю. Для таких випадків імовірність визначається експериментальним, статистичним методом.

Означення. Статистичною імовірністю (відносною частотою) випадкової події А називається число, рівне відношенню числа дослідів m, в яких появилась подія А, до загального числа n виконаних дослідів, тобто

 

                                (2)

 

Класичне означення ймовірності не вимагає проведення експерименту. Число сприятливих і загальних випадків визначається теоретично. Статистичне означення ймовірності вимагає фактичного проведення експерименту. При невеликому числі дослідів статистична ймовірність має випадковий характер і може помітно змінюватись від однієї серії дослідів до другої. Але чим більша кількість дослідів, тим ближча статистична ймовірність до ймовірності події. Наприклад, при багаторазовому киданні монети, маємо такі результати

 

	Число підкидань	Число появи герба m	Статистична імовірність, р*
Бюффон	4040	2048	0,5069
Пірсон	12 000	6019	0,5016
Пірсон	24 000	12012	0,5005

 

Тобто з зростанням числа дослідів статистична ймовірність все менше і менше відрізняється від класичної ймовірності 0,5.

   Приклад. На заводі виробляють деталі. Навмання взяли 5000 деталей і в цій партії виявилось 32 браковані деталі. Визначити статистичну ймовірність бракованих деталей.

                                     .

 

Геометричне означення ймовірності

 

Класичне означення ймовірностей не можна застосувати до дослідів з нескінченним числом рівноможливих результатів. Для обчислення ймовірностей таких подій застосовують геометричне означення ймовірностей. Нехай, наприклад, на площині маємо деяку область G і в ній міститься друга область q. В область G навмання кидається точка.

Чому дорівнює ймовірність, якщо точка влучить в область q. Імовірність потрапляння точці в деяку частину q області G пропорційна мірі цієї частині (довжини, площі, об’єму)і не залежить від її розташування і форми. 

Таким чином імовірність влучення в область q при киданні навмання точки в область G, дорівнює

 

                                                                                             (3)

 

За формулами (1), (2) і (3) не завжди можна обчислити ймовірність випадкових подій. Тому на практиці застосовуються методи, які дозволяють за відомими ймовірностями одних подій визначити ймовірності інших подій, пов’язаних з ними. Теорія ймовірностей становить систему таких методів. Розглянемо теореми додавання ймовірностей і теореми множення ймовірностей.

 

Сума подій. Теореми додавання та множення ймовірностей

 

Означення. Сумою двох подій А і В називається подія С, яка полягає в здійсненні події А або В, або обох разом.

 

Суму подій будемо позначати так С = А+В.

Корисною є геометрична інтерпретація цього поняття. Нехай подія А полягає в тому, що кинута точка потрапляє в область А, а подія В полягає в тому, що точка потрапляє в область В, тоді подія С = А+В полягає в тому, що точка потрапляє у заштриховану область.

Приклад. Проведено два постріли по мішені. Нехай подія А є влучення при першому пострілі. Подія В – при другому пострілі, тоді подія С = А+В є влучення  в ціль при першому пострілі або при другому пострілі, або при обох.

Аналогічно запроваджується поняття суми великого числа подій.

Означення. Сумою несумісних подій А_і (і = 1, 2, . . ., n) називається подія А, яка полягає в здійсненні хоч би однієї з цих подій, тоді .

 

Теорема 1. Імовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі імовірностей цих подій, тобто

 

 

Теорема 2. Імовірність появи однієї з n попарно-несумісних подій А_і (і = 1, 2, ...,n), байдуже якої, дорівнює сумі імовірностей цих подій, тобто

 

 

Наслідок. Якщо події А₁, А₂, ..,. А_n  утворюють повну групу попарно несумісних подій, то

 

 

Означення. Дві несумісних події називаються протилежними, якщо вони утворюють повну групу подій.

 

Подія протилежна події А позначається через . Влучення і промах при пострілі. Випадання герба і цифри при киданні монети – протилежні події.

 

Наслідок. Сума імовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто

 

 

 

Часто на практиці ймовірність події А позначають через р, а імовірність протилежної події  - через q, тобто P(A) = р, , тоді р+q=1, р=1-q.

 

Приклад. Стрілець робить один постріл по цілі, яка складається з круга і двох концентричних кілець. Імовірність влучення в круг і кільця відповідно дорівнює 0,1; 0,15; 0,2. Обчислити ймовірність влучення в ціль.

Розв’язання. Позначимо через А₁ подію, що полягає у влученні в круг, через А₂ – влучення в перше кільце, через А₃ – влучення в друге кільце. Через А – влучення в ціль. Тоді А = А₁+А₂ +А₃, так як події А₁, А₂ і А₃ – несумісні, то за теоремою додавання імовірностей, маємо:

  

 

Добуток подій. Поняття умовної ймовірності

 

Означення. Добутком двох подій А та В називається подія

С, яка полягає в сумісному здійсненні подій А та В, що позначається так

С = А В.

 

Корисною є геометрична інтерпретація цього поняття. Нехай подія А полягає в тому, що кинута точка потрапляє в область А,  а подія В полягає в тому, що точка попадає в область В. Тоді подія С = АВ, що точка потрапляє в заштриховану область.

 

Приклад.  В коробці є деталі якісні і браковані зроблені на заводі № 1 і № 2. Нехай А – подія, яка полягає в тому, що взята навмання деталь – якісна, а В – подія, яка полягає в тому, що деталь зроблена на заводі № 1. Тоді С = АВ є подія, яка полягає в тому, що деталь якісна і виготовлена на заводі №1.

 

Означення . Добутком n подій А_і (і=1, 2...n) називається подія А, яка полягає в сумісному здійснені всіх цих подій

 

A =...А_n.

 

Означення. Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того відбулась чи не відбулась подія В.

Означення. Подія А називається залежною від події В, якщо імовірність події А змінюється в залежності від того відбулась чи не відбулась подія В.

 

Приклад. Монету кинули два рази. Нехай подія А полягає в тому, що герб з’являється при першому киданні, а подія В - при другому киданні. Тоді ймовірність події В не залежить від того був герб чи цифра при першому киданні. Отже події А і В – незалежні.

 

Приклад. Нехай в коробці знаходиться 3 білі і 6 чорних кулі. 3 коробки навмання два студента беруть по одній кулі. Нехай подія А полягає в тому, що у першого студента з’явилась біла куля, а подія В - що у другого студента з’явилась теж біла куля. Тоді імовірність події А до того як відбулась подія В дорівнює . А якщо відомо, що відбулась подія В, то ймовірність події А буде  , тобто події А і В залежні.

Означення. Імовірність події А обчисленою за умовою, що мала місце подія В, називається умовною ймовірністю події А і позначається так:

 

.

 

Тоді, з умови попереднього приклада витікає, що P(A)=,

Якщо події незалежні, то.

 

Теореми множення ймовірностей залежних та незалежних подій

 

Теорема. Імовірність сумісного здійснення двох подій дорівнює добутку ймовірностей однієї з них і умовної ймовірності другої, визначеною за умови, що перша подія мала місце, тобто

 

 або .

 

Приклад. Достатньою умовою складання заліку студентом є відповідь хоча б на одно з трьох питань білета. Студент не знає 20 питань з 75. Обчислити ймовірність складання студентом заліку.

Розв’язання. Позначимо через А- подію складання заліку, а  не складання заліку. Нехай -подія, яка полягає в тому, що студент не знає першого питання. - другого питання, - третього питання. Тоді -подія не складання заліка. За теоремою 3 множення імовірностей:

 

 

є ймовірність не складання заліка. Тоді ймовірність складання заліку

 

 

Теорема 2. Імовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

 

.

                                                                                               

Теорема 3. Імовірність добутку n подій А_і (і=1,2...n) дорівнює добутку ймовірностей цих подій, причому ймовірність кожної наступної по порядку подій обчислюється при умові що всі попередні мали місце, тобто

 

Р(А₁

 

У випадку незалежних подій А_і(і=1,2...n)

 

Р(А₁

 

Приклад. Два верстата працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що перший верстат працюватиме зміну без наладки дорівнює 0,9 а другий - 0,8. Обчислити імовірність того, що обидва верстати за зміну не вимагатимуть наладки.

Розв’язання. Позначимо через А подію, що за зміну перший верстат буде працювати без наладки, через В подію, що другий верстат працюватиме без наладки. Тоді С=А- є подія, що обидва верстати будуть працювати за зміну без наладки. Події А і В – незалежні, тоді за теоремою 2

 

.

 

Приклад. Стрілець зробив один постріл по мішені. Імовірність влучення в десятку дорівнює 0,05; в дев’ятку – 0,2; в вісімку – 0,6. Обчислити ймовірність наступних подій; А – вибито не менше восьми очок, В – вибито більше восьми очок.

 Розв’язання. Позначимо через А₁ – подію влучення в десятку, А₂ – в дев’ятку, А₃ – в вісімку. Тоді Р(А₁) = 0,05, Р(А₂) = 0,2; Р(А₃) = 0,6

 

1) А = А₁+А₂+А₃. Так як події А₁, А₂ і А₃ – несумісні, то

 

.

 

2) В = А₁+А₂:

 

Імовірність появи хоча б однієї події

 

Наступним застосуванням теореми множення ймовірностей є обчислення ймовірності появи хоча б однієї події. Справедлива теорема.

Теорема. Ймовірність появи хоча б одного з n подій А₁ А₂...А_n, незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком імовірностей, протилежних подій , тобто

 

P(A)=1-q₁ q_2..q_n                          (3)

 

де q_і=- імовірності протилежних подій.

Зауваження. Якщо події А_і (і=1,2...n) мають однакову ймовірність, рівну р=1-q, то формула (3) спрощується:

 

Р(А)=1-qⁿ                        (4)

 

Теорема додавання імовірностей сумісних подій

 

Нехай події А і В – сумісні, тобто є випадки їх сумісного здійснення. Тоді теорема додавання ймовірностей має вигляд.

Теорема. Імовірність суми двох сумісних подій А і В дорівнює сумі імовірностей цих подій мінус імовірність їх сумісного здійснення, тобто

 

,

 

якщо події А і В залежні, то.

 

Приклад. Два мисливця одночасно стріляють в зайця не залежно один від одного і зробили по одному пострілу. Для першого мисливця ймовірність попасти в зайця дорівнює 0,8, а для другого - 0,75. Заєць буде підстреленим, якщо в нього попаде хоча б один з мисливців. Обчислити ймовірність того, що заєць буде підстріленим.

Розв’язання. 1) Позначимо через А - подію, що в зайця попав перший мисливець, а В - другий мисливець.

 

Тоді Р (А)=0,8  Р(В)=0,75. Події А і В незалежні.

 

Нам треба обчислити імовірність суми А+В,тоді за формулою

 

.

 

2) Цю задачу можна розв’язати і за формулою (3)

 

.

 

Питання для самоконтролю

 

1.                        Назвіть основні причини виникнення теорії ймовірності.

2.                        Які події називають випадковими?

3.                        Дайте поняття повної групи подій.

4.                        Дайте означення сумісних, несумісних подій.

5.                        Сформулюйте умови виникнення рівноможливих подій.

6.                        Сформулюйте правило розрахунку ймовірності за класичною ознакою.

7.                        Назвіть властивості ймовірності.

8.                        Дайте статистичне означення  ймовірності.

9.                        Сформулюйте геометричне означення ймовірності.

10.                   Що називають сумою подій?

11.                   Які події називають несумісними? Чому дорівнює їх сума?

12.                   Дайте поняття протилежних подій.

13.                   Сформулюйте теорему додавання ймовірностей несумісних подій.

14.                   Чому дорівнює ймовірність появи однієї з n попарно-несумісних подій?

15.                   Сформулюйте правило розрахунку ймовірності суми протилежних подій.

16.                   Що називають добутком подій?

17.                   Яку ймовірність називають умовною?

18.                   Дайте означення залежних та незалежних подій ймовірності.

19.                   Сформулюйте теорему множення імовірностей незалежних подій.

20.                   Сформулюйте теорему множення імовірностей залежних подій.

21.                   Чому дорівнює ймовірність появи хоча б однієї події?

 

Види випадкових величин, їх числові характеристики

 

Ми вже розглянули два основні поняття теорії імовірностей: випадкова подія та ймовірність випадкової події. Наступним важливим поняттям теорії імовірностей є поняття випадкової величини та законів її розподілу.

Означення. Випадковою величиною називається величина, яка в результаті досліду може прийняти те чи інше значення, причому заздалегідь невідомо яке саме, тобто можливі значення випадкової величини приймаються з певними ймовірностями.

Випадкові величини будемо позначати через X, Y, Z і так далі, а їх ймовірні значення – через x₁, x₂,...x_n.

Випадкові величини бувають

- дискретні

- неперервні.

Означення. Випадкова величина, можливі значення якої можна зазделегіть перелічити (перерахувати), називається  дискретною випадковою величиною.

Прикладом дискретної випадкової величини може бути число відмінних оцінок в групі з 25 студентів.

Означення. Випадкова величина, можливі значення якої  неперервне заповнюють деякий інтервал, називаються неперервною випадковою величиною.

Прикладом неперервної випадкової величини є величина напруги в мережі, вага деталі, обробленої на верстаті.

 

Математичне сподівання дискретної випадкової величини, його властивості

 

Вичерпною характеристикою дискретної випадкової величини є її закон розподілу. Але він на практиці не завжди буває відомим. Іноді буває відомим тільки деяке середнє значення біля якого групуються можливі значення випадкової величини.

Нехай Х – величина, яка приймає значення х₁ m₁ – разів, х₂ – m₂ разів, х_к – m_к разів і  тоді середнє зважене цієї величини Х визначається за формулою

 

(2)

 

Нехай тепер Х – дискретна випадкова величина, для якої закон розподілу задано таблицею.

 

Х	х1	х2	...	хn
p	p1	p2	...	pn

 

Середнім значенням випадкової величини тепер буде середнім очікуваним значенням, яке називається математичним сподіванням.  Математичне сподівання позначається так

 

.                                            (3)

 

Отже, математичне сподівання випадкової дискретної величини дорівнює сумі добутків можливих значень випадкової величини і ймовірностей цих значень.

Таким чином, математичне сподівання є узагальненням середньої  зваженої величини. Математичне  сподівання не є випадковою величиною. Якщо Х приймає скінчене число n можливих значень, то

 

.

 

Розглянемо властивості математичного сподівання.

 

1.         М(С)=С. Математичне сподівання сталої величини С є вона сама.

2.     .Математичне сподівання алгебраїчні суми скінченого числа випадкових величин дорівнює алгебраїчній сумі їх математичних сподівань.

3.     . Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин Х і Y дорівнює добуткові їх математичних сподівань.

Наслідок. - сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання.

4.         М(Х-а)=0. Математичне сподівання відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання дорівнює нулю.

5.         М(m)=np. Математичне сподівання числа m появи події А при біномному законі розподілу дорівнює np.

6.     . Математичне сподівання відносної частоти появи події А в nнезалежних дослідах дорівнює імовірності події А.

 

Приклад. Стрілець стріляє по мішені. Число вибитих очків при одному пострілі є величина випадкова, яка характеризується таким законом розподілу.

Обчислити математичне сподівання числа вибитих очків.

 

Х	6	7	8	9	10
р	0,1	0,1	0,2	0,4	0,2

 

Розв’язання. За формулою (3) маємо:

очок.

 

Приклад. При складанні прилада  для точної підгонки може будуть потрібні 1, 2, 3, 4, 5 спроб. Число спроб є випадкова величина Х, яка має наступний закон розподілу скільки деталей повинен мати складальник, щоб скласти 20 приладів?

Розв’язання. Обчислимо математичне сподівання числа спроб для складання одного прилада

 

деталі.

 

Для 20 приладів 320 = 60 деталів.

 

Х	1	2	3	4	5
р	0,07	0,16	0,55	0,21	0,01

 

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини і їх властивості

 

Математичне сподівання випадкової величини є середнім очікуваним значенням цієї величини, або є точкою на числовій осі, біля якої розкидані можливі значення випадкової величини. Але цього не досить для повної характеристики випадкової величини, бо можливі значення випадкової величини більш, або менш бувають розкидані біля математичного сподівання.

Це явище називається розсіянням випадкової величини. Так наприклад, дві випадкові величини Х і У мають однакові математичні сподівання. З цього приклада ми бачимо, що можливі значення випадкової величини Х більше розкидані (розсіяні) біля математичного сподівання М(Х), ніж випадкова величина У. Для кількісної оцінки розсіяння можливих значень випадкової величини біля її математичного сподівання користуються числовими характеристиками випадкової величини, які називаються дисперією і середнім квадратичним відхиленням. Ці величини і є мірою розсіяння можливих значень випадкової величини біля її математичного сподівання.

 

Дисперсія дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, яка позначається:

 

,                    (4)

де а=М(Х).

 

Для практичного обчислення дисперсії зручно користуватись другою формулою, яка випливає з формули (6.4):

 

.                             (5)

 

Проте найбільш застосовною мірою розсіяння є не дисперсія, а середнє квадратичне відхилення. Для того, щоб мати характеристику розсіяння, яка має розмірність однакову з розмірністю випадкової величини і її математичного сподівання, беруть корінь квадратний з дисперсії, взятий зі знаком плюс.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називається корінь квадратний з дисперсії, взятий зі знаком плюс, тобто

 

.                                                    (6)

 

Розглянемо властивості дисперсії:

 

1.         D(C)=0. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю.

2.     .Сталий множник можна виносити за знак дисперсії, підводячи його до квадрату.

3.         D(X+Y)=D(X)+D(Y). Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій.

Наслідок 1. D(C+X)=D(X)

Наслідок 2. D(X-Y)=D(X)+D(Y)

4.         D(m)=npq. Дисперсія числа m появи події А в серії n незалежних дослідах дорівнює npq.

 

Приклад. На дослідному полі в 1000 га урожайність пшениці має такий розподіл

 

Розглядаючи урожайність як випадкову величину обчислити її математичного сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання. Складемо закон розподілу урожайності. Позначимо через Х – випадкову величину, урожайність, а імовірності можливих значень через

 

,і = 1, 2 . . . 7,.

 

Наприклад,  і т. д., тоді маємо закон розподілу

 

Тоді середня очікувана урожайність обчислюється за формулою (6.3):

 

ц/га.

 

Щоб обчислити дисперсію, складемо закон розподілу величини Х².

 

Х2	1225	1369	1521	1600	1849	2025	2500
р	0,05	0,09	0, 15	0, 35	0,20	0,1	0,06

 

М(Х²) = 61,25 + 123,21 + 228,15 + 560 + 369,8 + 202,5 + 150 = 1694,91

;

.

Закони розподілу дискретної випадкової величини.

Многокутник розподілу

 

  Нехай дискретна випадкова величина X приймає можливі значення x₁, x_2....,x_n, тобто Х може його прийняти не достовірно, а з деякою ймовірністю. Прийняття випадковою величиною Х яке-небудь значення х₁,…,х_n будемо називати випадковою подією. Позначимо ймовірності цих подій через р₁,р₂,...р_n, що стисло записуються так Р(Х=х_і)=р_і  (і=1,2...n), тобто р_і є функція від х_і. Ця функція і є законом розподілу ймовірностей випадкової величини Х.

Означення. Законом розподілу імовірностей випадкової величини Х називається усяке співвідношення, яке установлює взаємозв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм імовірностями.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу здається за допомогою таблиць розподілу, де в одному рядку вказується значення, які може приймати дана дискретна випадкова величина, а в іншому – відповідні їй

Цю таблицю часто називають рядом розподілу випадкової величини Х. Інколи ряд розподілу зображають графічно: по осі абсцис відкладають можливі

 значення випадковоївеличини, а по осі ординат - імовірності цих значень.

Одержані точки сполучають відрізками прямих. Такий графік називається многокутником розподілу.

Зауваження.Якщо випадкова величина Х може приймати тільки скінчене число різних значень х₁,х_2,...,х_n, то випадкові події утворюють повну групу n несумісних подій і тоді

 

 (1)

 

Інтегральна та диференціальна функція розподілу ймовірностей випадкових величин

 

Інтегральна функція розподілу імовірностей, її властивості

 

Нехай Х - неперервна випадкова величина, можливі значення якої заповнюють інтервал  . Закон розподілу ймовірності неперервної величини вже не можна задати таблицею, тому що число можливих значень таких величин безмежне. Закон розподілу ймовірностей неперервної величини Х повинен визначати імовірність попадання можливих значень в деякий інтервал. Позначимо ймовірність попадання можливих значень випадкової величини Х в інтервал  через.

Для кількісної оцінки закону розподілу ймовірностей випадкових величин, як неперервних так і дискретних, вводиться інтегральна функція розподілу імовірностей (функція розподілу) F(x), яка дорівнює ймовірності попадання випадкової величини в інтервал де х - деяке число, тобто

 

.                           (7)

 

Означення. Інтегральною функцією розподілу імовірностей (функцією розподілу) випадкової величини Х називається функція F(x), яка дорівнює ймовірності того, що випадкова величина Х приймає можливі значення, менші даного значення х, тобто

 

                                             (8)

 

За допомогою інтегральної функції розподілу імовірності F(x) можна знайти ймовірність того, що випадкова величина Х приймає значення з інтервала. За теоремою додавання імовірностей незалежних подій

 

,

Звідки

 

,

 

згідно (8)

.                           (9)

 

  Інтегральна функція розподілу F(x) є універсальна характеристика випадкової величини. Вона цілком характеризує випадкову величину з імовірносної точки зору. З означення інтегральної функції розподілу імовірностей випливають наступні її властивості:

 

1.     , оскільки F(x) є ймовірність.

2.     , оскільки подія, щоє неможливою.

3.     , оскільки подія, щоє достовірною.

 

Зауваження. Якщо випадкова величина приймає можливі значення тільки з інтервала , тоді

 

 

5.     Інтегральна функція розподілу F(x) є зростаючою функцією, тобто , що витікає з формули (9).

 

6.         Імовірність того, що неперервна випадкова величина приймає одне певне значення дорівнює нулю, тобто

Р(Х=х₀)=0.

 

Розглянуті властивості інтегральної функції розподілу імовірностей дозволяють побудувати її графік, якщо, наприклад, випадкова величина Х

приймає можливі значення з інтервалу.

Зауваження. Для дискретної випадкової величини, графік інтегральної функції розподілу має ступінчатий вигляд, тобто функція F(x) змінюється стрибко подібно, причому величина стрибка дорівнює імовірності можливого значення. Тобто, якщо функція розподілу дискретної величини Х задана у вигляді таблиці, то інтегральна функція розподілу F(x) для будь - якого х дорівнює сумі ймовірностей всіх значень х_і величини Х, які менше х_і, тобто і графік функції F(x) має вигляд

 

Приклад. Дискретна випадкова величина Х задана наступним законом розподілу ймовірностей. Знайти інтегральну функцію розподілу ймовірностей F(x) і побудувати її графік.

 

Х	3	5	7	10
Р	0,2	0,1	0.4	0,3

 

Розв’язання. На підставі формули (9), маємо

 

 

Приклад. Випадкова неперервна величина Х задана інтегральною функцією розподілу

 

 

Обчислити ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина прийме значення з інтервала .

Розв’язання. Шукану імовірність обчислення за формулою (8)

 

, тоді

 

.

 

Диференціальна функція розподілу імовірностей випадкових величин

 

Якщо інтегральна функція розподілу F(x) є диференційованою функцією, то неперервну випадкову величину можна задати, так званою, диференціальною функцією розподілу.

Означення. Диференціальною функцією розподілу, або густиною розподілу ймовірностей f(x) неперервної випадкової величини називається похідна інтегральної функції розподілу, тобто

 

(10)

 

  Для дискретної випадкової величини диференціальна функція розподілу не існує.

За допомогою диференціальної функції розподілу неперервної випадкової величини можна також обчислити імовірність того, що неперервна випадкова величина х приймає значення з інтервала. Ця імовірність обчислюється за формулою

.                               (11)

 

Якщо відома диференціальна функція розподілу f(x), то можна знайти і інтегральну функцію розподілу F(x). Дійсно за означенням інтегральної функції розподілу та формули (8), маємо

 

               (12)

 

  З властивостей інтегральної функції розподілу F(x) випливають слідуючи властивості диференціальної функції f(x):

1.       так, як функція F(x) не спадна і;

2.     , що витікає з формули (9) і властивості функції F(x),.

Зауваження. Якщо неперервна випадкова величина приймає значення тільки з інтервала

.

 

  З властивостей функції f(x) витікає, що графік функції f(x) лежить вище осі OX і якщо вона приймає значення тільки з інтервала, то площа криволінійної трапеції, яка обмежена графіком функції f(x) на інтервалідорівнює одиниці.

 

Математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення неперервних випадкових величин

 

Поняття математичного сподівання, дисперсії і середнього квадратичного відхилення поширюється і на неперервні випадкові величини. Якщо неперервна випадкова величина задана диференціальною функцією розподілу f(x) і приймає значення тільки з інтервала  то

 

Зауваження. Якщо неперервна випадкова величина приймає значення з інтервала, тоді

 

;(17)

.(18)

 

У даних формулах передбачається, що невластиві інтеграли існують.

Приклад. Дана функція

 

 

При якому значенні числа λ функція f(x) може бути сприйняти за диференціальну функцію розподілу імовірностей випадкової величини Х. Обчислити це число λ, математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення відповідної випадкової величини Х.

Розв’язання. Оскільки

 

, то  ; ;

 

 

є диференціальна функція розподілу випадкової величини Х. Обчислимо математичне сподівання за формулою (17)

 

;

;

.

 

Питання для самоконтролю

 

1.     Що називають випадковою величиною? Неперервною випадковою величиною?

2.     Дайте поняття інтегральної функції розподілу ймовірностей випадкової величини.

3.     Назвіть властивості інтегральної функції розподілу імовірностей.

4.     Дайте означення диференціальної функції розподілу ймовірностей.

5.      Назвіть властивості диференціальної функції розподілу ймовірностей.

6.     Які числові характеристики неперервних випадкових величин існують?

7.     Дайте означення та запишіть формулу для обчислення математичного  сподівання.

8.     Дайте означення та запишіть формулу для обчислення дисперсії.

9.     Як обчислити середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини?

 

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

 

1.                 В.Д. Гетманцев Лінійна алгебра та лінійне програмуваня:Либідь, 2001, 256с

2.                 Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2001. – 648с.

3.                 Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник / Е.С. Вентцель. – 5-е изд., стер. – М.: Кнорус, 2010. – 576 с.

4.                 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для втузов / В.Е. Гмурман – 9-е изд. стер- М. Высш. школа, 2003 - 479 с

5.                 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и ма­тематической статистики. Учебн. пособие для втузов / В.Е. Гмурман. – 9-е изд., стер. -М. Высш. школа, 2004. - 404 с.

6.                 Жлуктенко В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей і математична статистика. Навч. - метод. посібник / В.І.Жлуктенко, С.І. Наконечний. У 2 ч. - Ч. І. Теорія ймовірностей. - K.:КНЕУ, 2000. - 304 с.

7.                 Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001. - 543 с.

8.                 Назарова О.П., Рубцов М.О., Іщенко О.А. та ін. Індивідуальні завдання з вищої математики: навч.посібник / О.П. Назарова, М.О.Рубцов, О.А. Іщенко. - Мелітополь: ТОВ. «Видавничий будинок. ММД», 2011.- 238 с.

9.                 Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике: пособие / А. В. Гуревич [и др.] Минск, БГУИР, 2017. – 68 с.

 

 

Додаток А

 

Таблиця 1. Значенняфункції

 

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3726	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3652	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0,396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001

 

 

Додаток В

 

Таблиця 2. Значення функції