Математика-ВАВ ...

Дві непаралельні площини завжди перетинаються по прямій, утворюючи тілесний кут, який вимірюється своїм плоским кутом: кутом між прямими, що лежеть в площинах і є перпендикулярними лінії перетину площин.

Нехай дві площини задані загальними рівняннями, при цьому

$\overline{N_1}=(A_1,\,B_1,\,C_1)$ і $\overline{N_2}=(A_2,\,B_2,\,C_2)$

- нормальні вектори цих площин.

Відмітимо, що кут між нормальними векторами співпадає з кутом між площинами, оскільки нормальни вектори перпендикулярні відповідним сторонам плоского кута, а кути із взаємно перпендикулярними сторонами рівні.

З векторної алгебри за формулою кута між векторами, отримаємо

$\cos \varphi = \frac{\overline{N_1}\cdot\overline{N_2}}{|\overline{N_1}|\cdot|\overline{N_2}|}$

Щоб отримати менший (гострий) з кутів між площинами, візьмемо цей вираз за модулем, і, підставляючи координати векторів, приходимо до формули кута між плошинами.

$\cos \varphi = \frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$

Як часткові випадки, тепер можна сформулювати умови паралельності і перпендикулярності площин, заданих загальними рівняннями.

Дійсно, якщо дві площини паралельні, то це означає, що їх нормальні вектори колінеарні. Тому умова паралельності двох площин визначається умовою колінеарности векторів $\overline{N_1}$ і $\overline{N_2}$:

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

Умова ж перпендикулярності площин зводиться до умови перпендикулярності їх нормальних векторів, а це - умова рівності до нуля їх скалярного добутку

$A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2+C_1\cdot C_2=0$

Приклад.

Написати рівняння площини, що проходить через точку $M(1,\,3,\,-1)$ паралельно площині $2x-3y+z=6$

Розв'язання.

Оскільки шукана площина паралельна даній в умові, їх нормальні вектори колінеарні. Більше того, користуючись неоднозначністю нормального вектора, можна за нормальний вектор шуканої площини взяти саме нормальний вектор даної в умові площини $\overline{N}=(2,\,-3,\,1)$.

Залишається записати рівняння площини, що проходить через задану точку і має відомий нормальний вектор.

$2(x-1)-3(y-3)+(z+1)=0$

Розкриваючи дужки, отримуємо загальне рівняння шуканої площини.

$2x-3y+z+9=0$.