Зміст навчальної дисципліни
Зміст навчальної дисципліни
Розділ 1. Інтегральні рівняння Вольтерра
Тема 1. Інтегральні рівняння Вольтерра
Аналітичні методи розв’язування інтегральних рівнянь. Інтегральне рівняння Вольтерра 2–го роду. Зв'язок з диференціальними рівняннями. Зведення задачі Коші до еквівалентного інтегрального рівняння (системи інтегральних рівнянь). Зведення розв’язку інтегрального рівняння Вольтерра 2-го роду до розв’язку задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь.
Інтегральні рівняння Вольтерра з виродженим ядром.
Метод послідовних наближень. Розв’язок за допомогою резольвенти.
Тема 2. Застосування перетворення Лапласа для розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра
Деякі відомості з операційного числення. Перетворення Лапласа для основних функцій.Основні теореми операційного числення. Таблиця перетворень Лапласа. Рівняння Вольтерра 2-го роду типу згортки. Використання перетворення Лапласа.
Рівняння Вольтерра 1-го роду. Приклади задач, які приводять до цього рівняння. Застосування перетворення Лапласа для розв’язання рівняння Вольтерра 1-го роду.
Розділ 2. Інтегральні рівняння Фредгольма
Тема 3. Інтегральні рівняння Фредгольма
Інтегральні рівняння Фредгольма 2-го роду. Умови існування єдиного розв’язку в різних функціональних просторах. Метод послідовних наближень.
Метод ітерації ядер для знаходження резольвенти і розв’язування інтегральних рівнянь. Приклади.
Ортогональність ядер. Розв’язання рівнянь Фредгольма.Розв’язування рівняння Фредгольма 2-го роду з виродженим ядром. Характеристичні числа і власні функції. Теореми Фредгольма. Рівняння Фредгольма 2-го роду із симетричним ядром. Теорема Гілберта – Шмідта. Інтегральні рівняння Фредгольма першого роду.
Розділ 3. Нефредгольмовські інтегральні рівняння
Тема 4. Сингулярні рівняння. Рівняння зі слабкою та логарифмічною особливостями
Сингулярні інтегральні рівняння. Перетворення Гілберта.
Інтегральні рівняння зі слабкою особливістю. Їх застосування.
Інтегральні рівняння з логарифмічною особливістю та їх застосування.
Тема 5. Нелінійні інтегральні рівняння
Інтегральне рівняння Гаммерштейна. Умови існування єдиного розв’язку. Розв’язання рівнянь.
Рівняння Урисона.
Нелінійне рівняння Вольтерра.