Математика-ВАВ ...

Пусть даны две матрицы: $A=(a_{ij}),\,i=1...m,\, j=1...k.$ размером $\normalsize{m \times k}$ и $B=(b_{ij}),\,i=1...k,\, j=1...n.$, имеющая размер $\normalsize{k \times n}$
Произведением этих матриц называется матрица $C=AB$, имеющая размер $\normalsize{m \times n}$, элементы которой есть суммы произведений элементов строк первой матрицы и элементов столбцов второй матрицы:

$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+ ...+a_{ik}b_{kj}=\sum\limits_{s=1}^k a_{is}b_{sj},\,i=1...m,\, j=1...n.$.

На практике, при умножении матриц сначала нужно определиться с размером матрицы-произведения. Из определения следует, что умножая матрицу размером $\normalsize{m \times k}$ на матрицу размером $\normalsize{k \times n}$ мы получаем матрицу размером $\normalsize{m \times n}$,
условно
$\normalsize{(m \times\widehat{k)\cdot(k} \times n)=(m \times n)}$
Обратим внимание на важнейшее правило:
Число столбцов $k$ первой матрицы должно равняться числу строк второй матрицы.
Например, произведение матрицы размером $\normalsize{4 \times 3}$ на матрицу размером $\normalsize{3 \times 2}$ даст матрицу размером $\normalsize{4 \times 2}$, а матрицы размерами $\normalsize{3 \times 2}$ и $\normalsize{3 \times 4}$ перемножить вообще невозможно.
Далее, определившись с размером, поочередно вычисляем все элементы искомой матрицы, перемножая и прибавляя элементы строки первой матрицы и столбца второй матрицы, имеющие те же номера, что и строка и столбец вычисляемого элемента.
Нехай задані дві матриці: $A=(a_{ij}),\,i=1...m,\, j=1...k.$ розміром $\normalsize{m \times k}$ и $B=(b_{ij}),\,i=1...k,\, j=1...n.$, що має розмір $\normalsize{k \times n}$
Добутком цих матриць називається матриця $C=AB$, що має розмір $\normalsize{m \times n}$, елементи якої є суми добутків елементів рядків першої матриці та елементів стовпців другої матриці:

$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+ ...+a_{ik}b_{kj}=\sum\limits_{s=1}^k a_{is}b_{sj},\,i=1...m,\, j=1...n.$.

На практиці, при множенні матриць спочатку потрібно визначитись з розміром матриці-добутку. З означення випливає, що якщо множимо матрицю розміром $\normalsize{m \times k}$ на матрицю розміром $\normalsize{k \times n}$, отримаємо матрицю розміром $\normalsize{m \times n}$,
умовно
$\normalsize{(m \times\widehat{k)\cdot(k} \times n)=(m \times n)}$
Звернемо увагу на найважливіше правило:
Число стовпців $k$ першої матриці повинно дорівнювати числу рядків другої матриці.
Наприклад, добуток матриці розміром $\normalsize{4 \times 3}$ на матрицю розміром $\normalsize{3 \times 2}$ дасть матрицю розміром $\normalsize{4 \times 2}$, а матриці розмірами $\normalsize{3 \times 2}$ і $\normalsize{3 \times 4}$ перемножити взагалі неможливо.
Далі, визначившись з розміром, по черзі обчислюємо всі елементи шуканої матриці, перемножуючи і додаючи елементи рядка першої матриці і стовпця другої матриці, що мають ті ж номери, що і рядок та стовпець елементу, що обчислюється.

Вычислить произведения $AB$ и $BA$, если $A=\left(\begin{array}{rrr}-2&-1&0\\1&2&3 \end{array}\right)\,$, а $B=\left(\begin{array}{rr}4&5\\6&7\\ 8&9 \end{array}\right)\,$.
Решение.
Произведение $AB=\left(\begin{array}{rrr}-2&-1&0\\1&2&3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}4&5\\6&7\\ 8&9 \end{array}\right)\,$

представляет собой матрицу размером $\normalsize{2 \times 2}$ поскольку $\normalsize{(2 \times\widehat{3)\cdot(3} \times 2)=(2 \times 2)}$
Вычисляя поочередно четыре элемента этой матрицы, получим
$AB=\left(\begin{array}{rr}-2\cdot 4-1\cdot 6+0\cdot8&-2\cdot 5-1\cdot 7+0\cdot9\\1\cdot 4+2\cdot 6+3\cdot8&1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 9 \end{array}\right)\,=\,\left(\begin{array}{rr}-14 &-17\\40&46 \end{array}\right)\,$.

В то же время, произведение $BA=\left(\begin{array}{rr}4&5\\6&7\\ 8&9 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}-2&-1&0\\1&2&3\end{array}\right)\,$

будет матрицей размером $\normalsize{3 \times 3}$ поскольку $\normalsize{(3 \times\widehat{2)\cdot(2} \times 3)=(3 \times 3)}$
Вычисляем элементы этой матрицы.
$BA=\left(\begin{array}{rrr}4\cdot(-2)+5\cdot 1 &4\cdot (-1) +5\cdot 2 &4\cdot 0+5\cdot 3 \\6\cdot(-2)+7\cdot 1 &6\cdot (-1) +7\cdot 2 &6\cdot 0+7\cdot 3 \\ 8\cdot(-2)+9\cdot 1 &8\cdot (-1) +9\cdot 2 &8\cdot 0+9\cdot 3 \end{array}\right)\,=\,\left(\begin{array}{rrr}-3 &6 &15\\-5&8 &21\\-7&10 &27 \end{array}\right)\,$.
Обчислити добутки $AB$ і $BA$, якщо $A=\left(\begin{array}{rrr}-2&-1&0\\1&2&3 \end{array}\right)\,$, а $B=\left(\begin{array}{rr}4&5\\6&7\\ 8&9 \end{array}\right)\,$.
Розв'язок.
Добуток $AB=\left(\begin{array}{rrr}-2&-1&0\\1&2&3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}4&5\\6&7\\ 8&9 \end{array}\right)\,$

являє собою матрицю розміром $\normalsize{2 \times 2}$ оскільки $\normalsize{(2 \times\widehat{3)\cdot(3} \times 2)=(2 \times 2)}$
Обчислюючи по черзі чотири елементи цієї матриці, отримаємо
$AB=\left(\begin{array}{rr}-2\cdot 4-1\cdot 6+0\cdot8&-2\cdot 5-1\cdot 7+0\cdot9\\1\cdot 4+2\cdot 6+3\cdot8&1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 9 \end{array}\right)\,=\,\left(\begin{array}{rr}-14 &-17\\40&46 \end{array}\right)\,$.

В той же час, добуток $BA=\left(\begin{array}{rr}4&5\\6&7\\ 8&9 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}-2&-1&0\\1&2&3\end{array}\right)\,$

буде матрицею розміром $\normalsize{3 \times 3}$ оскільки $\normalsize{(3 \times\widehat{2)\cdot(2} \times 3)=(3 \times 3)}$
Обчислюємо елементи цієї матриці.
$BA=\left(\begin{array}{rrr}4\cdot(-2)+5\cdot 1 &4\cdot (-1) +5\cdot 2 &4\cdot 0+5\cdot 3 \\6\cdot(-2)+7\cdot 1 &6\cdot (-1) +7\cdot 2 &6\cdot 0+7\cdot 3 \\ 8\cdot(-2)+9\cdot 1 &8\cdot (-1) +9\cdot 2 &8\cdot 0+9\cdot 3 \end{array}\right)\,=\,\left(\begin{array}{rrr}-3 &6 &15\\-5&8 &21\\-7&10 &27 \end{array}\right)\,$.

1. Прямо из определения следует, что произведение матриц, вообще говоря, не перестановочно , или, что то же, не коммутативно .
Это означает, что имеет значение, в каком порядке матрицы перемножаются. Более того, при изменении порядка произведение вообще может потерять смысл, если не выполнится условие равенства количества столбцов первой матрицы количеству строк второй. Впрочем, это не означает, что при перестановке матриц-сомножителей результат обязательно изменится. Как исключения, существуют случаи, при этом довольно важные, когда при перестановке получается одинаковый результат. Отсюда и оговорка в определении "вообще говоря".

2. Произведение матриц ассоциативно, то есть выполняется сочетательный закон:
$(AB)C=A(BC)$.
Свойство означает, что не имеет значения в какой последовательности матрицы перемножаются. При этом должно соблюдаться правило соотношения количества строк и столбцов перемножаемых матриц.

3. Произведение матриц дистрибутивно относительно сложения, то есть выполняется распределительный закон:
$(A+B)C=AC+BC$.
При этом матрицы $A$ и $B$ должны иметь одинаковый размер, а матрица $C$ - соответствующее число строк.

4. Квадратная матрица размером $n \times n$ на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы - нули, называется единичной. Будем обозначать ее буквой $E$. Например, единичная матрица размера $3 \times 3$ имеет вид:
$\left(\begin{array}{rrr}1 &0 &0\\0&1 &0\\0&0 &1 \end{array}\right)\,$
Справедливо свойство: Если $A$ - квадратная матрица размера $n \times n$, а $E$ - единичная матрица того же размера, то
$AE=EA=A$
. То есть, при умножении на единичную матрицу, матрица $A$ не меняется. При этом, умножение на единичную матрицу перестановочно.

5. Если $A$ и $B$ - квадратные матрицы, то определитель произведения этих матриц равен произведению определителей матриц-сомножителей. $|AB|=|A||B|$.
1. Безпосередньо з означення виплимває, що добуток матриць, взагалі кажучи, не перестановочний , або, що те ж саме, не комутативний .
Це означає, що має значення, в якому порядку матриці перемножуються. Більше того, при зміні порядку добуток взагалі може втратити сенс, якщо не выконюється умова рівності кількості стовпців першої матриці кількості рядків другої. Втім, це не означає, що при перестановці матриць-множників результат обов'язково зміниться. Як виключення, існують випадки, при цьому досить важливі, коли при перестановці одержується однаковий результат. Звідси і застереження в означенні "взагалі кажучи".

2. Добуток матриць асоціативний, тобто виконується сполучний закон:
$(AB)C=A(BC)$.
Властивість означає, що не має значення в якій послідовності матриці перемножуються. При цьому повинно виконуватись правило співвідношення кількості рядків і стовпців матриць, що перемножуються.

3. Добуток матриць дистрибутивний відносно додавання, тобто виконується розподільний закон:
$(A+B)C=AC+BC$.
При цьому матриці $A$ і $B$ повинні мати однаковий розмір, а матриця $C$ - відповідну кількість рядків.

4. Квадратна матриця розміром $n \times n$ на головній діагоналі якої містяться одиниці, а решта елементів - нулі, називається одиничною. Будемо позначати її літерою $E$. Наприклад, одинична матриця розміру $3 \times 3$ має вигляд:
$\left(\begin{array}{rrr}1 &0 &0\\0&1 &0\\0&0 &1 \end{array}\right)\,$
Справджується властивість: Якщо $A$ - квадратна матриця розміру $n \times n$, а $E$ - одинична матриця того ж розміру, то
$AE=EA=A$
. Тобто, при множенні на одиничну матрицю, матриця $A$ не змінюється. При цьому, множення на одиничну матрицю перестановочне.

5. Якщо $A$ і $B$ - квадратні матриці, то визначник добутку цих матриць дорівнює добутку визначників матриць-множників. $|AB|=|A||B|$.