3.2. Матричний метод розв’язання систем.

Матричний запис системи і матричний метод її розв'язання.

Розглянемо найбільш загальний випадок.
Нехай задана система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими \normalsize{x_1,\,x_2\,\dots x_n}:

\normalsize{\;\;\left \{ \begin{array}{rcl}a_{11}x_1\,+\,a_{12}x_2\,+\dots+\,a_{1n}x_n&=&b_1\\a_{21}x_1\,+\,a_{22}x_2\,+\dots+\,a_{2n}x_n&=&b_2\\ \dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots& \dots &\; \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n&=&b_m \end{array}\right.}

З цією системою пов'язані три матриці:
матриця коефіцієнтів \normalsize{A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \dots& \dots&\dots&\dots\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn} \end{array}\right)} розміром m \times n;
вектор-стовпець невідомих \normalsize{X=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \dots\\ x_n \end{array}\right)} розміром n \times 1;
и вектор-стовпець вільних членів - права частина \normalsize{B=\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\ \dots\\ b_m \end{array}\right)} розміром m \times 1.
За означенням добуток матриць, матрицю A можна помножити на матрицю X.
Знайдемо цей добуток.
\normalsize{\;AX\;=\;\left( \begin{array}{c}a_{11}x_1\,+\,a_{12}x_2\,+\dots+\,a_{1n}x_n\\a_{21}x_1\,+\,a_{22}x_2\,+\dots+\,a_{2n}x_n\\ \dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n \end{array}\right)}
В результаті ми отримали матрицю розміром m \times 1, тобто вектор-стовпець з m елементами.
Порівнюючи одержану матрицю з лівою частиною даної нам системи рівнянь, помічаємо, що елементи отриманого вектор-стовпця дорівнюють відповідним елементам вектора-стовпця вільних членів.
\normalsize{\;\left( \begin{array}{c}a_{11}x_1\,+\,a_{12}x_2\,+\dots+\,a_{1n}x_n\\a_{21}x_1\,+\,a_{22}x_2\,+\dots+\,a_{2n}x_n\\ \dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots\;\dots \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\ \dots\\ b_m \end{array}\right)}

Таким чином, приходимо до матричного запису системи лінійних рівнянь.
AX\;=\;B
Метою розв'язання системи є знаходження всіх n невідомих, тобто знаходження вектор-стовпця X, елементи якого і є шукані невідомі.
У випадку, коли число рівнянь співпадає з числом невідомих n,тобто, матриця A є квадратною, розв'язок системи можна знайти з використанням оберненої матриці.
Отже, вважаючи матрицю A квадратною, знайдемо X з одержаного матричного рівняння AX\;=\;B. Для цього помножимо обидві частини цього рівняння на матрицю A^{-1}, обернену до матриці A. Отримаємо
A^{-1}AX\;=\;A^{-1}B
Оскільки A^{-1}A\;=\;E - одинична матриця, маємо
EX\;=\;A^{-1}B
і, оскільки, при множенні на одиничну матрицю, матриця не змінюється, остаточно отримуємо розв'язок системи:
\bf{X\;=\;A^{-1}B}
Залишилось відмітити, що наведені перетворення можливі тільки якщо визначник матриці A не дорівнює нулю, інакше обернена матриця просто не існує.

Отже, матричний метод розв'язання систем можна сформулювати таким чином:

Якщо матриця коефіцієнтів системи є квадратною і неособливою, для знаходження вектора-стовпца невідомих необхідно матрицю, обернену до матриці коефіцієнтів помножити на вектор-стовпець вільних членів.




Приклад.

Нехай задана система трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими \normalsize{x_1,\,x_2\, x_3}:
\normalsize{\;\;\left \{ \begin{array}{rcc}2 x_1\,\,\;\;\;\;\;\;-\;x_3\,&=&5\\x_1\,-\,3 x_2\,+\,2x_3&=&0\\3x_1-\,4x_2\,+\,2x_3&=&-1 \end{array}\right.}

З цією системою пов'яжемо три матриці:
матрицю коефіцієнтів \normalsize{A=\left(\begin{array}{rrr}2&0&-1\\1&-3&2\\ 3&-4&2 \end{array}\right)} ,
вектор-стовпець невідомих \normalsize{X=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ x_3 \end{array}\right)}
и вектор-стовпець вільних членів \normalsize{B=\left(\begin{array}{c}5\\0\\ -1 \end{array}\right)}.
Перш, ніж знаходити обернену матрицю, обчислимо визначник матриці коефіцієнтів
\;|A|=-12+4-9+16=-1 \ne 0,
отже матриця є неособливою і обернена матриця існує.
Знайдемо алгебраїчні доповнення.
A_{11}\,=\,\left|\begin{array}{rr}-3&2\\-4&2\end{array}\right|=2,\;\; A_{21}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}0&-1\\-4&2\end{array}\right|=4,\;\; A_{31}\,=\,\left|\begin{array}{rr}0&-1\\-3&2\end{array}\right|=-3,\;\;
A_{12}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}1&2\\3&2\end{array}\right|=4,\;\; A_{22}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}2&-1\\3&2\end{array}\right|=7,\;\; A_{32}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}2&2\\1&-1\end{array}\right|=-5,\;\;
A_{13}\,=\,\left|\begin{array}{rr}1&-3\\3&-4\end{array}\right|=5,\;\; A_{23}\,=\,-\,\left|\begin{array}{rr}2&0\\3&4\end{array}\right|=8,\;\; A_{33}\,=\,\left|\begin{array}{rr}2&0\\1&-3\end{array}\right|=-6,\;\;

Запишемо обернену матрицю.
A^{-1}\;=\;-\,\left(\begin{array}{rrr}2&4&-3\\4&7&-5\\ 5&8&-6 \end{array}\right)\,=\;\left(\begin{array}{rrr}-2&-4&3\\-4&-7&5\\ -5&-8&6 \end{array}\right).
Для знахождення невідомих залишилось помножити знайдену обернену матрицю на вектор-стовпець вільних членів. X\;=\;\left(\begin{array}{rrr}-2&-4&3\\-4&-7&5\\ -5&-8&6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\0\\ -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-13\\-25\\ -31 \end{array}\right).
Таким чином, \normalsize{\bf{x_1\,=\,-13,\,x_2\,=\,-25,\, x_3\,=\,-31}}.
Підставивши знайдені значення невідомих в систему, впевнюємось в вірності знайденого розв'язку.


Last modified: Thursday, 8 September 2016, 8:34 PM