3. Зміст навчальної дисципліни

 

Розділ 1. Інтегральні рівняння Вольтерра

 

Тема 1. Інтегральні рівняння Вольтерра

Аналітичні методи розв’язування інтегральних рівнянь. Інтегральне рівняння Вольтерра 2–го роду. Зв'язок з диференціальними рівняннями. Зведення задачі Коші до еквівалентного інтегрального рівняння (системи інтегральних рівнянь). Зведення розв’язку інтегрального рівняння Вольтерра 2-го роду до розв’язку задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь.

Інтегральні рівняння Вольтерра з виродженим ядром.

Метод послідовних наближень. Розв’язок за допомогою резольвенти.

 

Тема 2. Застосування перетворення Лапласа для розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра

Деякі відомості з операційного числення. Перетворення Лапласа для основних функцій.Основні теореми операційного числення. Таблиця перетворень Лапласа. Рівняння Вольтерра 2-го роду типу згортки. Використання перетворення Лапласа.

Рівняння Вольтерра 1-го роду. Приклади задач, які приводять до цього рівняння. Застосування перетворення Лапласа для розв’язання рівняння Вольтерра 1-го роду.

 

Розділ 2. Інтегральні рівняння Фредгольма

 

Тема 3. Інтегральні рівняння Фредгольма

Інтегральні рівняння Фредгольма 2-го роду. Умови існування єдиного розв’язку в різних функціональних просторах. Метод послідовних наближень.

Метод ітерації ядер для знаходження резольвенти і розв’язування інтегральних рівнянь. Приклади.

Ортогональність ядер. Розв’язання рівнянь Фредгольма.

Розв’язування рівняння Фредгольма 2-го роду з виродженим ядром.

Характеристичні числа і власні функції. Теореми Фредгольма.

Рівняння Фредгольма 2-го роду із симетричним ядром. Теорема Гілберта – Шмідта.

Чисельні методи розв’язання інтегральних рівнянь Фредгольма 2-го роду.

Інтегральні рівняння Фредгольма першого роду.

 

Розділ 3. Нефредгольмовські інтегральні рівняння

 

Тема 4. Сингулярні рівняння. Рівняння зі слабкою та логарифмічною особливостями

Сингулярні інтегральні рівняння. Перетворення Гілберта.

Інтегральні рівняння зі слабкою особливістю. Їх застосування.

Інтегральні рівняння з логарифмічною особливістю та їх застосування.

 

Тема 5. Нелінійні інтегральні рівняння

Інтегральне рівняння Гаммерштейна. Умови існування єдиного розв’язку. Розв’язання рівнянь.

Рівняння Урисона.

Нелінійне рівняння Вольтерра.

 

 

 

4. Структура навчальної дисципліни

Вид заняття

/роботи

Назва теми

Кількість годин

Згідно з розкладом

о/д.ф.

 

 

1

2

3

5

Лекція 1

Аналітичні методи розв’язування інтегральних рівнянь. Інтегральне рівняння Вольтера 2–го роду. Зв'язок з диференціальними рівняннями.

0.5

щотижня

 

Зведення задачі Коші до еквівалентного інтегрального рівняння (системи інтегральних рівнянь).

0.5

 

 

Зведення розв’язку інтегрального рівняння Вольтера 2-го роду до розв’язку задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь.

1

 

Лекція 2

Інтегральні рівняння Вольтера з виродженим ядром.

2

 

Лекція 3

Метод послідовних наближень. Розв’язок за допомогою резольвенти.

2

 

Лекція 4

Деякі відомості з операційного числення. Перетворення Лапласа для основних функцій.

1

 

 

Основні теореми операційного числення. Таблиця перетворень Лапласа.

1

 

Лекція 5

Рівняння Вольтера 2-го роду типу згортки. Використання перетворення Лапласа.

2

 

Лекція 6

Рівняння Вольтера 1-го роду. Приклади задач, які приводять до цього рівняння.

2

 

Лекція 7

Застосування перетворення Лапласа для розв’язання рівняння Вольтера 1-го роду.

2

 

Лекція 8

Інтегральні рівняння Фредгольма 2-го роду. Метод послідовних наближень.

2

 

Лекція 9

Метод ітерації ядер для знаходження резольвенти і розв’язування інтегральних рівнянь. Приклади.

2

 

Лекція 10

Ортогональність ядер. Розв’язування рівнянь Фредгольма.

2

 

Лекція 11

Розв’язування рівняння Фредгольма 2-го роду з виродженим ядром.

2

 

Лекція 12

Характеристичні числа і власні функції. Теореми Фредгольма.

2

 

Лекція 13

Рівняння Фредгольма 2-го роду із симетричним ядром. Теорема Гілберта – Шмідта.

1

 

 

Чисельні методи розв’язання інтегральних рівнянь Фредгольма 2-го роду.

1

 

Лекції 14

Інтегральні рівняння Фредгольма першого роду.

1

 

 

Сингулярні рівняння. Рівняння зі слабкою та логарифмічною особливостями

1

 

Лекція 15

Нелінійні інтегральні рівняння

2

 

Практичне заняття 1

Аналітичні методи розв’язування інтегральних рівнянь. Інтегральне рівняння Вольтера 2–го роду. Зв'язок з диференціальними рівняннями.

0.5

Щотижня

 

Зведення задачі Коші до еквівалентного інтегрального рівняння (системи інтегральних рівнянь).

0.5

 

 

Зведення розв’язку інтегрального рівняння Вольтера 2-го роду до розв’язку задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь.

1

 

Практичне заняття 2

Інтегральні рівняння Вольтера з виродженим ядром.

2

 

Практичне заняття 3

Метод послідовних наближень. Розв’язок за допомогою резольвенти.

2

 

Практичне заняття 4

Деякі відомості з операційного числення. Перетворення Лапласа для основних функцій.

1

 

 

Основні теореми операційного числення. Таблиця перетворень Лапласа.

1

 

Практичне заняття 5

Рівняння Вольтера 2-го роду типу згортки. Використання перетворення Лапласа.

2

 

Практичне заняття 6

Рівняння Вольтера 1-го роду. Приклади задач, які приводять до цього рівняння.

2

 

Практичне заняття 7

Застосування перетворення Лапласа для розв’язання рівняння Вольтера 1-го роду.

2

 

Практичне заняття 8

Інтегральні рівняння Фредгольма 2-го роду. Метод послідовних наближень.

2

 

Практичне заняття 9

Метод ітерації ядер для знаходження резольвенти і розв’язування інтегральних рівнянь. Приклади.

2

 

Практичне заняття 10

Ортогональність ядер. Розв’язування рівнянь Фредгольма.

2

 

Практичне заняття 11

Розв’язування рівняння Фредгольма 2-го роду з виродженим ядром.

2

 

Практичне заняття 12

Характеристичні числа і власні функції. Теореми Фредгольма.

2

 

Практичне заняття 13

Рівняння Фредгольма 2-го роду із симетричним ядром. Теорема Гілберта – Шмідта.

2

 

Практичні заняття 14

Інтегральні рівняння Фредгольма першого роду.

1

 

Сингулярні рівняння. Рівняння зі слабкою та логарифмічною особливостями

1

 

Практичні заняття 15

Нелінійні інтегральні рівняння

2

 

Самостійна робота

Підготовка до лекцій

10

 

Розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра. Застосування інтегральних рівнянь Вольтерра в прикладних задачах

15

 

 

Розв’язання інтегральних рівнянь Фредгольма. Застосування інтегральних рівнянь Фредгольма в прикладних задачах

15

 

 

Розв’язання сингулярних інтегральних рівнянь. Застосування сингулярних інтегральних рівнянь в прикладних задачах

15

 

 

Розв’язання нелінійних інтегральних рівняння. Застосування нелінійних інтегральних рівнянь Гаммерштейна в прикладних задачах

10

 

 

Методи наближеного розв’язання інтегральних рівнянь

20

 

 

Методи чисельного розв’язання інтегральних рівнянь

20

 

 

Підготовка до контрольних робіт

15

 

 

Підготовка до підсумкового контролю:

-         виконання індивідуального завдання;

-         підготовка до заліку.

30

 
Ostatnia modyfikacja: wtorek, 23 grudnia 2025, 18:04