Спортивна метрологія ...

Тема:Кореляційний аналіз. Оцінка залежності між двома величинами, що вимірюються.

Мета:Навчитися розраховувати коефіцієнт кореляції і досліджувати взаємозв'язок між ознаками.

Теоретичні відомості

У спортивних дослідженнях між показниками, що підлягаютьдослідженню, часто спостерігається  взаємозв'язок. Його вид може бути різним. Розрізняють два види взаємозв'язку: функціональний і статистичний.

Функціональний  взаємозв'язок‑ це залежність, при якій кожному значенню одного показника відповідає строго визначене значення іншого і ні якої  варіації бути не може.

До другого виду взаємозв'язку належить,наприклад, залежність маси тіла від довжини тіла. Одному значенню довжини тіла може відповідати декілька значень маси тіла і навпаки. У таких випадках, коли одному значенню одного показника відповідає декілька значень іншого показника, взаємозв'язок називається статистичним.

Вивченню статистичного взаємозв'язку між різними показниками у спортивних дослідженнях приділяють велику увагу, тому що це дозволяє розкрити деякі закономірності і надалі описати їх, як за допомогою слів, так і математичних знаків та формул, з метою застосування в практичній роботі тренера і педагога.

Серед статистичних взаємозв'язків найбільш важливі - кореляційні (від латинського Correlatio - співвідношення, відповідність).

Кореляція - вид взаємозв'язку між ознаками. Кожна ознака являє собою велику кількість однотипних показників, що варіюють.

Кореляція полягає в тому, що середня величина одного показника змінюється в залежності від середньої величини іншого.

Статистичний метод, що застосовується для дослідження взаємозв'язків, називається кореляційним аналізом. Головне завдання кореляційного аналізу‑ визначення форми, щільності, спрямованості досліджуваних показників. Він широко застосовується в теорії тестів для оцінки їхньої надійності й інформативності.

За допомогою кореляційного аналізу можна оцінити:

1.Взаємозв'язок між спортивними результатами і функціональними показниками (результат у бігу на 100 м і кількість лактату в крові);

2.Вплив спортивної діяльності на результат (результат човниковогобігу 3 ×100 м і результат бігу на 100 м);

3.Взаємний вплив показників тренованості (результат проходження 10 × 200 м і результат проходження середньої дистанції, у плаванні);

4.Надійність тесту (погодженість, стабільність);

4.1 Погодженість ‑ оцінка виступу гімнасток двома суддями;

4.2 Стабільність ‑ порівняння результатів тесту (кількість точних кидків із десятьох запропонованих у баскетболі) і ретесту‑ той же тест, але через рік;

5.Інформативність тесту (залежність між кількістю гребків за 30 секунд і часом проходження дистанції 100 м у плаванні).

Аналіз взаємозв'язку починається із графічного представлення результатів вимірів у прямокутній системі координат. Графічна залежність має назву діаграма розсіювання або кореляційне поле. Візуальний аналіз кореляційного поля дозволяє виявити спрямованість і форму залежності (принаймні, зробити припущення).

За кореляційним полем можна визначити спрямованість:

а) пряма позитивна кореляційна статистична залежність (нахил кореляційного поля вправо)

Рисунок 7.1 ‑Пряма позитивна кореляційна статистична залежність

б) обернено-негативна кореляційна статистична залежність (нахил кореляційного поля вліво)

Рисунок 7.2 ‑ Обернено-негативна кореляційна статистична залежність

Якщо кореляційне поле подане колом, то залежність відсутня

Рисунок 7.3 -Коло ‑залежність відсутня

Якщо кореляційне поле подане прямою лінією, то має місце функціональна залежність

Рисунок 7.4 ‑Пряма лінія‑функціональна залежність

Форми статистичної залежності:

1. Лінійна форма залежності - форма є близькою до звичайної геометричної фігури - еліпсу

Рисунок 7.5 -Еліпс

2. Нелінійна форма залежності - будь-яка інша форма, крім еліпса.

Рисунок 7.6 ‑Будь-яка інша форма

Отже, візуальний аналіз кореляційного поля дозволяє виявити форму статистичної залежності - лінійну або нелінійну. Це має істотне значення для наступного кроку в аналізі - вибору й обчисленні відповідного коефіцієнта кореляції.

Для більш точної оцінки кореляції, що визначається за формулою, потрібно знати форму залежності:

1. Якщо виміри проводяться за шкалою відношень або інтервалів, і  форма залежності лінійна, то коефіцієнт кореляції розраховується за формулою Браве-Пірсона (rxy)  :

r

де                                                 

Хі й Уі - варіанти 2-х вибірок;

  і  - середнє арифметичне значення показників Хі й Уі;

σх, σу- середнє квадратичне відхилення;

N   - число вимірів (випробуваних).

2. Якщо  виміри проводяться за шкалою відношень або інтервалів, і  форма залежності нелінійна, коефіцієнт кореляції (r) розраховується за формулою:

r

Для оцінки щільності взаємозв'язку у кореляційному аналізі застосовується значення спеціального показника - коефіцієнта кореляції (rxy).

Абсолютне значення коефіцієнта кореляції знаходиться в межах від 0 до 1 - пряма позитивна кореляційна статистична залежність і від -1 до 0 - обернена негативна кореляційна статистична залежність:

                                          -1 £rxy£ 1

Пояснюють значення цього коефіцієнта в такий спосіб:

а) rxy = 1 зв'язок між ознаками дуже щільний (функціональний взаємозв'язок);

б) rxy = 0 зв'язок між ознаками Хі й Уі відсутній;

в) чим ближче значення rxy до нуля, тим зв'язок слабкіше, чим ближче значення rxy до одиниці - тим щільніше.

Прийнято вважати, що

- rxy = 0,2....0,49 - слабкий зв'язок;

- rxy = 0,5....0,69 - середній зв'язок;

- rxy = 0,7....0,99 - тісний (сильний) зв'язок.

На кореляційному полі щільність може виглядати так:

а) якщо точки групуються вздовж якої-небудь лінії, то зв'язок є, і він тим щільніше, чим ближче вони групуються.

Рисунок 7.7 ‑Тісний (сильний) зв'язок

б) якщо точки розсіяні хаотично, зв'язок між ознаками відсутній або дуже слабкий.

Рисунок 7.8 ‑Слабкий зв'язок

Проте, варто пам'ятати, що при роботі з великою точністю, наприклад, при оцінці кореляцій спортсменів високої кваліфікації, коефіцієнт кореляції відображає щільний зв'язок, якщо він не менше 0,9.

У деяких випадках щільність взаємозв'язку визначають на підставі коефіцієнта детермінації (D), що розраховують за формулою:

D = r²×100 %

Цей коефіцієнт визначає частину загальної варіації одного показника, що пояснюється варіацією іншого показника. Залишок відсотків варіації від ста пояснюється впливом іншихчинників.

Порядок виконання

Розглянемо дану тему на прикладі:

Приклад: Чи існує залежність, і яка між результатами бігу на 60 м (Хі), сек і швидкістю їзди на велосипеді (Уi), км/год. у 7 велосипедистів?

Чи може біг на 60 м служити тестом для цих велосипедистів на виявлення швидкості їзди на велосипеді? Наскільки сильно впливає біг 60 м на швидкість їзди на велосипеді?

 Хі   9,0    9,1    9,1     9,3   9,5    9,5    9,6

 Уi  18,4  18,0  17,8  17,5  17,1  16,9  16,2

1.Обраховування середнього арифметичного значення 2-х вибірок, Хі і Yi.

1.1 Оскільки не всі варіанти першої вибірки (Хі) зустрічаються один раз, то середнє арифметичне значення розраховуємо за формулою зваженого середнього арифметичного значення:

= 9,3 (сек) - середній час бігу на дистанції 60 м для 7 велосипедистів.

1.2 Оскільки всі варіанти другої вибірки (Уі) не повторюються, то середнє арифметичне значення розраховуємо за формулою незваженого середнього арифметичного значення:

=17,4 (км/ч) - середня швидкість їзди на велосипеді для 7 велосипедистів.

2. Побудова кореляційного поля, за яким визначаємо форму і спрямованість взаємозв'язку.

Побудова кореляційного поля відповідає нелінійній формі залежності і зворотному кореляційному статистичному взаємозв'язку.

Нелінійна форма залежності - кореляційне поле подане не у формі еліпса. Обернений кореляційний статистичний взаємозв'язок - нахил кореляційного поля вліво.

3. Оскільки форма залежності не лінійна, то коефіцієнт кореляції розраховується за формулою:

r

3.1 Для подальшої роботи будуємо таблицю

3.2 Коефіцієнт кореляції (rxy)

rxy = - 0,96 значення коефіцієнта дозволяє говорити про обернений негативний сильний кореляційний статистичний взаємозв'язок.

4. Розрахунок коефіцієнта детермінації (D)

D = r²×100 %

D = (-0,96)²× 100 % = 0,9216 × 100 % = 92,16 %

D = 92,16 % значення коефіцієнта дозволяє говорити про те, що 92 % взаємозв'язку результату бігу на 60 м і швидкістю їзди на велосипеді пояснюються їх взаємовпливом. Інша частина (100 % - 92 % = 8 %) варіації пояснюється впливом інших неврахованих чинників.

Висновок: Розрахований коефіцієнт кореляції (rxy = -0,96) зазначає на обернений негативний сильний кореляційний статистичний взаємозв'язок між бігом на 60 м і швидкістю їзди на велосипеді. Це означає, що зі зменшенням часу проходження дистанції 60 м, швидкість їзди на велосипеді буде зростати. Коефіцієнт детермінації дозволяє стверджувати, що на 92 % (з 100 %) швидкість їзди на велосипеді залежить від результату бігу на 60 м. Отже, біг на 60 м доцільно застосовувати в тренувальному процесі велосипедистів для збільшення швидкості їзди на велосипеді.

Завдання

1. Ознайомитися і оволодіти теоретичними відомостями з теми "Кореляційний аналіз.Оцінка залежності між двома величинами, що вимірюються”.

2. Відповідно до прикладу, виконати самостійно завдання зі свого виду спорту. 

Питання для самоконтролю

1.Що таке функціональний взаємозв'язокміж показниками?

1.Що такестатистичний взаємозв'язок між показниками?

2.У чому полягає зміст кореляції?

3.Яке головне завдання кореляційного аналізу?

4.Як називається графічне відображення взаємозв'язку показників?

5.Що дозволяє виявити візуальний аналіз кореляційного поля ?

6.Якурозрізняють форму залежності?

7.Яка існуєспрямованість залежностіміж показниками?

8.Коли кореляційне поле представлене прямою лінією, то який вид залежності має місце?

9.За якою формулою розраховується коефіцієнт кореляції?

10.Як розраховують і на що вказує коефіцієнт детермінації (D)?

11.Яку розрізняють щільність взаємозв'язку між показниками?

У яких межах знаходиться значення коефіцієнта кореляції?