5.5. Загальне рівняння прямої.


Раніше, за допомогою формул планіметрії було отримане рівняння прямої вигляду y=kx+b, яке називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої на площині можна також отримати, скориставшись засобами векторної алгебри.

Нехай пряма проходить через точку M_{0} (x_{0} ;y_{0} ), перпендикулярно вектору \overline n=(A;B), який називається нормальним вектором прямої (див. рисунок). Така пряма єдина. Знайдемо її рівняння.

Оберемо на прямій довільну точку M (x;y). Побудуємо вектор \overline {M_0M}, віднімаючи з координат кінцевої точки координати початкової точки

\overline {M_0M}=(x-x_0;y-y_0).

Вектори \overline {M_0M} і \overline {n} перпендикулярні, і, значить, їх скалярний добуток дорівнює нулю. Тобто

\overline {M_0M}\cdot \overline n=0.

Або в координатній формі

A(x-x_0)+B(y-y_0)=0. (1)

Отримане рівняння називається рівнянням прямої, що проходить через дану точку, перпендикулярно заданному вектору.

11

рис.
Розкриємо дужки в рівнянні (1) і перепишемо його в вигляді

Ax+By+(-Ax_0-By_0)=0.

Припускаємо, що числа A і B, які є координатами нормального вектора, одночасно не обертааються в нуль. Позначимо выраз в дужках через C. Тогда маємо

Ax+By+C=0. (2)

Рівняння (2) називається загальним рівнянням прямої.

Зауваження.

Отримане рівняння є лінійним відносно змінних x і y. Якщо покласти A=k,\:B=-1,\:C=b, отримаємо уже відоме рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: y=kx+b.


Приклад.

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку K (3;-1), перпендикулярно вектору \overline n (-2;5).

Розв'язання.

В нашому прикладі x_0=3,\:y_0=-1,\:A=-2,\:B=5. Подставляємо ці значення в рівняння (1)

-2(x-3)+5(y+1)=0.

Розкриваючи дужки, після нескладних перетворень отримуємо загальне рівняння прямої

2x-5y-11=0.
Ostatnia modyfikacja: Wednesday, 14 September 2016, 09:06